2011年《概率论与数理统计》试卷B参考答案
2011 《概率论与数理统计》试卷 B B 参考答案
一、单项选择题（3 ×5=15 分）
1 、设随机事件 , A B 满足 ( ) 0 P AB , 则(
C
). (A) , A B 互为对立事件
(B) , A B 互不相容
(C) AB 不一定为不可能事件
(D) AB 一定为不可能事件 2 、U 估计法是用来进行 (
B
) 的. (A) 极大似然估计
(B) 区间估计
(C) 假设检验
(D) 矩估计 3 、设随机变量2~ ( , ) X N , 其中 已知 ，2 未知, 1 2, X X 是来自总体的 一个样本, 则能作为统计量的是(
B
). (A) 21X
(B) 1 2X X
(C) 1 2X X
(D) 1/ 2X
4 、设 X 是随机变量，若 2 EX ， 1 DX ，则2EX =(
D
). (A) 1
(B) 1
(C) 3
(D) 5
5 、设1 2( ), ( ) F x F x 是随机变量的分布函数，1 2( ), ( ) f x f x 是相应的概率密度，则(
B
).
(A) 1 2( ) ( ) F x F x 是分 布函数
(B) 1 2( ) ( ) F x F x 是分布函数 (C) 1 2( ) ( ) f x f x 是概率密度
(D) 1 2( ) ( ) f x f x 是概率密度 二、填空题（3 ×5=15 分）
6、 、 已知 2 EX ， 1 DX ， 2 EY ， 4 DY ， ( ) 2 E XY ，则XY
3
.(数 数字改以下) 7 、设随机变量 X 服从指数分布 ( ) e ，则 DX 21. 8 、设随机变量 , X Y 相互独立, 其分布函数分别为 ( )XF x 和 ( )YF y , 则 则 min( , ) X Y的分布函数min ( )F z 为 为 1 1 ( ) 1 ( )X YF z F z . 9 、设总体2~ ( , ) X N ,1 2, , ,nX X X 是来自总体的一个样本, 2 已知, 则 则 的置信度为 1 的双侧置信区间是2 2, X u X un n .
10. 已知0.05 (30,5)4.50 F 则0.95 (5,30)F 29. 三、解答题( 本题共 5 小题, 满分 70 分) 11 、（20 分）从 1,2, ,9 中任意抽取一个数字，然后放回，先后取出五个数字，求下列事件的概率， （ （1）
）1A “最后取出的数字是偶数”； （ （2）
）2A “ 五个数字全不相同”； （ （3）
）3A “ “2 恰好出现三次”； （ （4）
）4A “ “2 至多出现三次”. 解
由于是可放回的抽取，所以基本事件的总数为59 9 9 9 9 9 。
（2 分）
（1）
因为最后一个数字是奇数有 5 种，所以1A 中包含的样本点数为49 5 ，于是41 59 5 5( ) 0.5569 9P A 。
（4 分）
（2）
因为五个数字全不相同，相当于九取五作排列，所以2A 中包含的样本点数为59P ，于是592 5 59 8 7 6 5( ) 0.2569 9PP A 。
（4 分）
（3）
2 恰好出现三次，是五次中的任意三次，所以有35C 种选择，而其余两次每次 有 八 种 选 择 ， 所 以3A 中 包 含 的 样 本 点 数 为3 258 C ， 于 是3 253 58( ) 0.01089CP A 。
（4 分）
（4）2 出现五次的情形有一种，2 出现四次的情形有158 C 种，于是154 4 51 8( ) 1 ( ) 1 0.99939CP A P A 。
（6 分）
12 、（15 分）两为 台车床加工同样的零件，第一台出废品的概率为 0.02 ，第二台出为 废品的概率为 0.03 。加工出来的零件放在一起，已知第二台加工的零件数是第
的 一台的 3 倍。求: (1) 从加工出来的零件中任取一件，是合格品的概率； (2) 若任取一件是次品，求它是由第一台车床加工的概率。
解
设事件iA 表示“零件由第 i 台车床加工”, 2 , 1 i , 事件 B 表示“任取一个零件是次品”。依题意有 03 . 0 ) | ( , 02 . 0 ) | ( ,43) ( ,41) (2 1 2 1 A B P A B P A P A P 。
(1)
) | ( ) ( ) | ( ) ( )) ( ( ) (2 2 1 1 2 1A B P A P A B P A P A A B P B P
) 03 . 0 1 (43) 02 . 0 1 (41 9725 . 0 。
(8分) (2)
1129725 . 0 102 . 041) ( 1) | ( ) () () () | (1 1 11 B PA B P A PB PB A PB A P 。
(7 分)
13 、（12 分）下表给出了二维随机向量 ( , ) X Y 的联合分布律及关于 X 与 Y 的边缘分布律的部分数值. 若随机变量 X 与 Y 相互独立, 试填入表中所缺数值. 空 （每空 1.5 分）
1 2 3 ip
1 1/8
3/8
1/4
3/4
2 1/24
1/8
1/12
1/4
jp
1/6
1/2
1/3
1
14 、(11 分) 从一批产品中抽取 8 个样品测量长度( 单位:cm) ，观测值为：
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01 X Y
如果产品长度服从正态分布，求产品长度均值 为 的置信度为 0.95 的置信区间. 附：0.025 0.0250.0251.96, (7) 2.364, (8) 2.306 u t t 。
解
由观测值计算得， 2 21 11 18, 0.05, 12.08, ( ) 0.0036, 0.061n ni ii in x x s x x sn n
（3 分）
由于 未知，所以采用 T 估计法，
（2 分）
的置信度为 0.95 的置信区间为2 2( 1), ( 1)s sx t n x t nn n ，
（2 分）将20.025( 1) (7) 2.364 t n t 代入，计算得
（2 分）
的置信度为 0.95 的置信区间为 (12.03, 12.13)。
（2 分）
15 、（12 分）某种导线，要求其电阻的方差为20.005 0.005 欧，今在生产的一批品 导线中取样品 9 根，测得 0.007 s 欧。设这批导线的电阻服从正态分布，问在
显著性水平 0.05 下能认为这批导线电阻的方差有显著的变化吗？ 附：2 2 2 20.05 0.95 0.025 0.975(8) 15.5, (8) 2.73, (8) 17.54, (8) 2.18 。
解
由题意，总体服从正态分布， 未知，2 200.005 ， 9 n
提出假设 2 20 0: H ，
21 0: H
（2 分）
根据题意，选择2 检验法，由于2 20.025 0.975(8) 17.54, (8) 2.18 ，所以拒绝域为 2 20.975 0.025( , (8)) ( (8), ) ( ,2.18) (17.54, ) D
（4 分）
由观测值计算，得 2 2202 20( 1) 8 0.00715.680.007n s
（2 分）
所以20D ，从而，接受0H ，
（2 分）即在显著性水平 0.05 下，这批导线电阻的方差无显著的变化。
（2 分）
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