概率论与数理统计公式整理

　第 第 1 1 章

　随机事件及其概率

　（1）排列 组 合公式 )! (!n mmPnm

　从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

　)! ( !!n m nmCnm

　 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

　（2）加法 和 乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：

　m+n

　某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。

　乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m m ×n n

　某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

　（3）一些 常 见排列 重复排列和非重复排列（有序）

　对立事件（至少有一个）

　顺序问题 （4）随机 试 验和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

　试验的可能结果称为随机事件。

　（5）基本 事在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

　件 、 样本 空 间和事件 ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

　这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用  来表示。

　基本事件的全体，称为试验的样本空间，用  表示。

　一个事件就是由  中的部分点（基本事件  ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C， …表示事件，它们是 的子集。

　 为必然事件，Ø 为不可能事件。

　不可能事件（Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

　（6）事件 的 关系 与 运算 ①关系：

　如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（ A发生必有事件 B 发生）：

　B A

　如果同时有 B A ， A B  ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B ：

　A=B 。

　A、B 中至少有一个发生的事件：

　A  B ，或者 A + B 。

　属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B的差，记为 A-B ，也可表示为 A-AB 或者 B A ，它表示A 发生而 B 不发生的事件。

　A、B 同时发生：

　A  B ，或者 AB 。A  B=Ø ，则表示 A与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或

　者互斥。基本事件是互不相容的。

　 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。

　②运算：

　结合率：A(BC)=(AB)C

　A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

　分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

　(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

　德摩根率： 1 1 iiii A A

　B A B A    ， B A B A   

　（7）概率 的 公理 化 定义 设  为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：

　1° 0≤P(A)≤1，

　2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件1 A ， 2 A ，…有 1 1) (iiii A P A P  常称为可列（完全）可加性。

　则称 P(A)为事件 A 的概率。

　（8）古典概型 1°  n   2 1 ,  ， 2° nP P Pn1) ( ) ( ) (2 1       。

　设任一事件 A ，它是由m   2 1 ,组成的，则有 P(A) =   ) ( ) ( ) (2 1 m      

　= ) ( ) ( ) (2 1 mP P P       

　nm基本事件总数所包含的基本事件数 A

　（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，

　) () () (LA LA P 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。

　（ 10 ）加 法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （ 11 ）减 法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B  A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) （ 12 ）条 件 概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称) () (A PAB P为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 ) / ( A B P) () (A PAB P。

　条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

　例如 P(Ω/B)=1  P( B /A)=1-P(B/A) （ 13 ）乘 法 公式 乘法公式：

　) / ( ) ( ) ( A B P A P AB P 

　更一般地，对事件 A 1 ，A 2 ，…A n ，若 P(A 1 A 2 …A n-1 )>0，则有 2 1 ( A A P…) n A ) | ( ) | ( ) ( 2 1 3 1 2 1 A A A P A A P A P ……2 1 | ( A A A P n…) 1  n A。

　（ 14 ）独立性 ①两个事件的独立性

　设事件 A 、 B 满足) ( ) ( ) ( B P A P AB P ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。

　若事件 A 、 B 相互独立，且0 ) (  A P，则有 ) () () ( ) () () () | ( B PA PB P A PA PAB PA B P    若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A与 B 也都相互独立。

　必然事件  和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。

　Ø 与任何事件都互斥。

　②多个事件的独立性

　设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。

　对于 n 个事件类似。

　（ 15 ）全 概 公式 设事件n B B B , , , 2 1 满足 1°n B B B , , , 2 1 两两互不相容，) , , 2 , 1 ( 0 ) ( n i B P i   ， 2°nii B A1 ， 则有 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n B A P B P B A P B P B A P B P A P     。

　（ 16 ）贝 叶 斯公式 设事件1 B ， 2 B ，…，n B 及 A 满足 1° 1 B ， 2 B ，…，n B 两两互不相容，) (Bi P>0， i1，2，…， n ， 2° nii B A1 ，0 ) (  A P， 则 njj ji iiB A P B PB A P B PA B P1) / ( ) () / ( ) () / ( ，i=1，2，…n。

　此公式即为贝叶斯公式。

　) (iB P ，（1  i， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。

　) / ( A B Pi，（1  i， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

　（ 17 ）伯 努 利概型 我们作了 n 次试验，且满足  每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；

　 n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；  每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。

　这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。

　用p 表示每次试验A 发生的概率，则 A 发生的概率为q p   1，用) (k P n表示 n 重伯努利试验中 A 出现) 0 ( n k k  次的概率， k n kknn q p k PC ) (，n k , , 2 , 1 , 0  。

　第二章

　随机变量及其分布

　（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的可能取值为 X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

　  , , , ,, , , ,|) ( 2 12 1kkk p p px x xx X PX。

　显然分布律应满足下列条件：

　（1）0  k p， , 2 , 1  k，

　（2）11kk p。

　（2）连续型随机变量的分布密度 设) (x F是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数) (x f，对任意实数 x ，有  xdx x f x F ) ( ) (，

　 则称 X 为连续型随机变量。) (x f称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

　密度函数具有下面 4 个性质：

　1°

　0 ) (  x f。

　2°

　 1 ) ( dx x f。

　（3）离散与连续型随机变量的关系 dx x f dx x X x P x X P ) ( ) ( ) (      

　积分元 dx x f ) ( 在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P   ) (在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

　（4）分布函数 设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 ) ( ) ( x X P x F  

　 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

　) ( ) ( ) ( a F b F b X a P    

　 可以得到 X 落入区间 ] , ( b a 的概率。分布函数 ) (x F 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

　分布函数具有如下性质：

　1°

　, 1 ) ( 0   x F

　      x ； 2°

　) (x F 是单调不减的函数，即 2 1 x x  时，有  ) ( 1 x F ) ( 2 x F ； 3°

　0 ) ( lim ) (    x F Fx，

　1 ) ( lim ) (    x F Fx； 4°

　) ( ) 0 ( x F x F   ，即 ) (x F 是右连续的； 5°

　) 0 ( ) ( ) (     x F x F x X P 。

　对于离散型随机变量，x xkkp x F ) ( ； 对于连续型随机变量， xdx x f x F ) ( ) (

　。

　（5）八大分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

　二 项 分布 在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 n , , 2 , 1 , 0  。

　k n k knn q p C k P k X P   ) ( ) ( ，

　 其 中n k p p q , , 2 , 1 , 0 , 1 0 , 1       ， 则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为 ) , ( ~ p n B X 。

　当 1  n 时，k k qp k X P 1) ( ， 1 . 0  k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

　泊 松 分布 设随机变量 X 的分布律为   ekk X Pk!) ( ， 0   ，  2 , 1 , 0  k ， 则称随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，记为 ) ( ~   X 或者 P(  )。

　泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

　超 几 何分布 ) , min(, 2 , 1 , 0, ) (n M ll kCC Ck X PnNk nM NkM   随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。

　几 何 分布  , 3 , 2 , 1 , ) (1  k p q k X Pk，其中 p≥0，q=1-p。

　随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为G(p)。

　均 匀 分布 设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数) (x f在[a，b]上为常数a b 1，即

　  , 0,1) ( a b x f

　其他， 则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。

　分布函数为

　   xdx x f x F ) ( ) (

　当 a≤x 1 <x 2 ≤b 时，X 落在区间（2 1 ,xx）内的概率为 a bx xx X x P  1 22 1) ( 。

　指 数 分布

　其中0  ，则称随机变量 X 服从参数为  的指数分布。

　X 的分布函数为

　 记住积分公式：

　!0n dx e xx n 0，

　 x<a， ,a ba x

　 a≤x≤b

　1，

　x>b。

　a≤x≤b  ) (x f,xe

　 0  x, 0,

　0  x,  ) (x F, 1xe 

　0  x, , 0

　x<0。

　正 态 分布 设随机变量 X 的密度函数为 222) (21) ( xe x f ，

　     x， 其中  、0  为常数，则称随机变量 X 服从参数为  、  的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为) , ( ~2  N X。

　) (x f具有如下性质：

　1°

　) (x f的图形是关于  x对称的； 2°

　当  x时， 21) (  f 为最大值； 若) , ( ~2  N X，则 X 的分布函数为 dt e x Fxt 222) (21) (。。

　参数0  、1  时的正态分布称为标准正态分布，记为) 1 , 0 ( ~ N X，其密度函数记为 2221) (xe x，      x ， 分布函数为   x tdt e x2221) (。

　) (x 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

　Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝21。

　如果 X ~ ) , (2  N ，则  X~ ) 1 , 0 ( N 。

　       1 22 1) (x xx X x P 。

　 （6）分位数 下分位表：

　   ＝ ) (  X P ； 上分位表：

　   ＝ ) (  X P 。

　（7）函数分布 离散型 已知 X 的分布列为

　  , , , ,, , , ,) ( 2 12 1nni p p px x xx X PX， ) (X g Y  的分布列（ ) (i ix g y  互不相等）如下：

　  , , , ,), ( , ), ( ), () (2 12 1nnip p px g x g x gy Y PY， 若有某些 ) ( i x g 相等，则应将对应的ip 相加作为 ) ( i x g 的概率。

　连续型 先利用 X 的概率密度 f X (x)写出 Y 的分布函数F Y (y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f Y (y)。

　第三章

　二维随机变量及其分布

　（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量  （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称  为离散型随机量。

　设  = （ X ， Y ）

　的 所 有 可 能 取 值 为) , 2 , 1 , )( , (   j i y xj i，且事件{  = ) , (j iy x }的概率为 p ij, ,称 ) , 2 , 1 , ( )} , ( ) , {(     j i p y x Y X Pij j i 为  =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

　 Y X

　y 1

　y 2

　… y j

　… x 1

　p 11

　p 12

　… p 1j

　… x 2

　p 21

　p 22

　… p 2j

　… 

　

　

　 

　

　x i

　p i1

　 … ijp

　… 

　

　

　 

　

　这里 p ij 具有下面两个性质：

　（1）

　p ij ≥0（i,j=1,2,…）； （2）

　. 1  iji jp

　连续型 对于二维随机向量 ) , ( Y X   ，如果存在非负函数 ) , )( , (         y x y x f ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有  Ddxdy y x f D Y X P , ) , ( } ) , {(

　则称  为连续型随机向量；并称 f(x,y)为  =（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。

　分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：

　（1）

　f(x,y)≥0; （2）

　    . 1 ) , ( dxdy y x f

　（2）二维 随 机变 量 的本质 ) ( ) , ( y Y x X y Y x X        

　（3）联合 分 布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数 } , { ) , ( y Y x X P y x F   

　称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。

　分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件} ) ( , ) ( | ) , {(2 1 2 1y Y x X           的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：

　（1）

　; 1 ) , ( 0   y x F

　（2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x 2 >x 1 时，有 F （x 2 ,y）≥F(x 1 ,y);当 y 2 >y 1 时，有 F(x,y 2 ) ≥F(x,y 1 ); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 ); 0 , ( ) , ( ), , 0 ( ) , (     y x F y x F y x F y x F

　（4）

　. 1 ) , ( , 0 ) , ( ) , ( ) , (           F x F y F F

　（5）对于 ， ，2 1 2 1y y x x  

　0 ) ( ) ( ) ( ) (1 1 2 1 1 2 2 2    y x F y x F y x F y x F ， ， ， ， . （4）离散 型 与连 续 型的关系 dxdy y x f dy y Y y dx x X x P y Y x X P ) ( ) ( ) ( ， ， ，          

　（5）边缘分布 离散型 X 的边缘分布为 ) , 2 , 1 , ( ) (      j i p x X P Pijji i； Y 的边缘分布为 ) , 2 , 1 , ( ) (      j i p y Y P Pijij j。

　连续型 X 的边缘分布密度为   ； dy y x f x f X ) , ( ) (

　Y 的边缘分布密度为 . ) , ( ) (  dx y x f y f Y

　（6）条件分布 离散型 在已知 X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为 ；  iiji jppx X y Y P ) | (

　在已知 Y=y j 的条件下，X 取值的条件分布为 , ) | (jijj ippy Y x X P  

　连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为 ) () , () | (y fy x fy x fY ； 在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为 ) () , () | (x fy x fx y fX

　（7）独立性 一般型 F(X,Y)=F X (x)F Y (y) 离散型 j i ijp p p 

　有零不独立

　连续型 f(x,y)=f X (x)f Y (y) 直接判断，充要条件：

　①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二 维 正态分布 ,1 21) , (2222 12 121122 1) )( ( 2) 1 ( 212        y y x xe y x f

　 ＝0 随 机 变量 的 函数 若 X 1 ,X 2 ,…X m ,X m+1 ,…X n 相互独立， h,g 为连续函数，则：

　h（X 1 ，X 2 ,…X m ）和 g（X m+1 ,…X n ）相互独立。

　特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。

　例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。

　（8）二维 均 匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其他 , 0) , (1) , (D y xSy x fD 其中 S D 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

　例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。

　y 1

　 D 1

　O

　1

　x

　图 3.1

　y 1

　 O

　 2

　x

　 图 3.2

　y d D 2

　 1 D 3

　（9）二维 正 态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ,1 21) , (2222 12 121122 1) )( ( 2) 1 ( 212        y y x xe y x f

　其中 1 | | , 0 , 0 ,2 1 , 2 1        是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（ ). , , ,2221 , 2 1    

　由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即 X～N（ ). ( ~ ), ,22 , 221 1    N Y

　但是若 X～N（ ) ( ~ ), ,22 , 221 1    N Y ，(X，Y)未必是二维正态分布。

　（ 10 ）函 数 分布 Z=X+Y 根据定义计算：

　) ( ) ( ) ( z Y X P z Z P z F Z     

　对于连续型，f Z (z)＝ dx x z x f  ) , (

　两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2221 2 1,       ）。

　n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

　ii iC   ，

　ii iC2 2 2 

　Z=max,min(X 1 ,X 2,…X n ) 若nX X X 2 1 ,相互独立，其分布函数分别为) ( ) ( ) (2 1x F x F x Fnx x x ， ，则 Z=max,min(X 1 ,X 2 ,…X n )的分布函数为：

　) ( ) ( ) ( ) (2 1maxx F x F x F x Fnx x x  

　)] ( 1 [ )] ( 1 [ )] ( 1 [ 1 ) (2 1minx F x F x F x Fnx x x      

　2 分布 设 n 个随机变量nX X X , , ,2 1 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 niiX W12 的分布密度为  . 0 , 0, 0221) (2122uu e unu fu nn 我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2 分布，记为 W～ ) (2n  ，其中 .2012dx e xnxn   

　所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

　2 分布满足可加性：设 ), (2i in Y  

　则 ). ( ~2 112kkiin n n Y Z      

　t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且 ), ( ~ ), 1 , 0 ( ~2n Y N X 

　可以证明函数 n YXT/

　的概率密度为 2121221) ( nntnnnt f

　). (     t

　我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为 T～t(n)。

　) ( ) (1n t n t   F 分布 设 ) ( ~ ), ( ~2212n Y n X   ，且 X 与 Y 独立，可以证明21//n Yn XF  的概率密度函数为   0 , 00 , 12 22) (221122212 12 12 111yy ynnynnn nn ny fn nnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n 1 ，第二个自由度为 n 2 的 F 分布，记为 F～f(n 1 , n 2 ). ) , (1) , (1 22 1 1n n Fn n F 第四章

　随机变量的数字特征

　（ 1）一维随机变量的数字特征

　离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设 X 是离散型随机变量 ， 其 分 布 律 为P(kx X  ) ＝ p k ，k=1,2,…,n， nkk k px X E1) (

　（要求绝对收敛）

　设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，   dx x xf X E ) ( ) (

　（要求绝对收敛）

　函数的期望 Y=g(X) nkk kp x g Y E1) ( ) (

　 Y=g(X)   dx x f x g Y E ) ( ) ( ) (

　方差 D(X)=E[X-E(X)]2 ， 标准差 ) ( ) ( X D X   ，

　  kk kp X E x X D2)] ( [ ) (

　   dx x f X E x X D ) ( )] ( [ ) (2

　矩 ①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 v k ,即 ν k =E(Xk )= iikip x , k=1,2, …. ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k ，即 .)) ( (kkX E X E    =iikip X E x )) ( ( ， k=1,2, …. ①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 v k ,即 ν k =E(Xk )= , ) ( dx x f xk

　k=1,2, …. ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为k ，即 .)) ( (kkX E X E    =   , ) ( )) ( ( dx x f X E xk k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=μ，方差 D（X）=σ2 ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 22) (     X P

　切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 ) (     X P

　的一种估计，它在理论上有重要意义。

　（ 2）期望的性质 （1）

　E(C)=C （2）

　E(CX)=CE(X) （3）

　E(X+Y)=E(X)+E(Y)，  ninii i i iX E C X C E1 1) ( ) (

　（4）

　E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；

　充要条件：X 和 Y 不相关。

　（ 3）方差的性质 （1）

　D(C)=0；E(C)=C （2）

　D(aX)=a2 D(X)；

　E(aX)=aE(X) （3）

　D(aX+b)= a2 D(X)；

　E(aX+b)=aE(X)+b （4）

　D(X)=E(X2 )-E 2 (X) （5）

　D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；

　 充要条件：X 和 Y 不相关。

　 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

　而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

　（ 4）常见分布的期 期望 方差 0-1 分布 ) , 1 ( p B

　p ) 1 ( p p 

　二项分布 ) , ( p n B

　np ) 1 ( p np 

　泊松分布 ) (  P

　

　

　几何分布 ) (p G

　p1 21pp  超几何分布) , , ( N M n H

　NnM 11Nn NNMNnM

　望和方差 均匀分布 ) , ( b a U

　2b a  12) (2a b  指数分布 ) (  e

　1 21 正态分布 ) , (2  N

　

　2

　分布2

　n 2n t 分布 0 2  nn(n>2) （ 5）二维随机变量的数字特征 期望 nii i px X E1) (

　njj j py Y E1) (

　  dx x xf X EX) ( ) (

　  dy y yf Y EY) ( ) (

　函数的期望 )] , ( [ Y X G E ＝ i jij j ip y x G ) , (

　)] , ( [ Y X G E ＝   － －dxdy y x f y x G ) , ( ) , (

　方差

　  ii ip X E x X D2)] ( [ ) (

　  jj jp Y E x Y D2)] ( [ ) (

　   dx x f X E x X DX) ( )] ( [ ) (2    dy y f Y E y Y DY) ( )] ( [ ) (2 协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩11 为 X 与 Y 的 协 方 差 或 相 关 矩 ， 记 为) , cov( Y XXY 或 ，即 ))]. ( ))( ( [(11Y E Y X E X EXY     

　与记号XY 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为XX 与YY 。

　相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）>0, D(Y)>0，则称 ) ( ) ( Y D X DXY 为 X 与 Y 的相关系数，记作XY （有时可简记为 ）。

　|  |≤1，当|  |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：1 ) (    b aY X P

　完全相关   ， 时 负相关，当， 时 正相关，当) 0 ( 1) 0 ( 1aa 而当 0   时，称 X 与 Y 不相关。

　以下五个命题是等价的：

　① 0 XY ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 YY YXXY XX   混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 ) (l k YX E 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩，记为kl ；k+l 阶混合中心矩记为：

　]. )) ( ( )) ( [(l kklY E Y X E X E u   

　（ 6）协方差的性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X 1 +X 2 , Y)=cov(X 1 ,Y)+cov(X 2 ,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). （ 7）独立和不相关 （i）

　若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 0 XY ；反之不真。

　（ii）

　若（X，Y）～N（      , , , ,2221 2 1）， 则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。

　第五章

　大数定律和中心极限定理

　（1）大数定律   X

　切比雪夫大数定律 设随机变量 X 1 ，X 2 ，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（ X i ）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有 . 1 ) (1 1lim1 1    niiniinX EnXnP

　 特殊情形：若 X 1 ，X 2 ，…具有相同的数学期望 E（X I ）=μ，则上式成为 . 11lim1   niinXnP

　伯努利大数定律 设μ是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 . 1 lim   pnPn

　伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 . 0 lim   pnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

　辛钦大数定律 设 X 1 ，X 2 ，…，X n ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（X n ）=μ，则对于任意的正数ε有 . 11lim1   niinXnP

　（2）中心极限定理 ) , (2nN X  列维－林德伯格定理 设随机变量 X 1 ，X 2 ，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：) , 2 , 1 ( 0 ) ( , ) (2     k X D X Ek k  ，则随机变量 nn XYnkkn1 的分布函数 F n ( x )对任意的实数 x ，有     xtnkknnndt e xnn XP x F .21lim ) ( lim212  此定理也称为 独立同分布的中心极限定理。

　棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量nX 为具有参数 n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数 x,有   xtnndt e xp npnp XP .21) 1 (lim22 （3）二项定理 若当 ) , ( , 不变 时 k n pNMN    ，则 k n k knnNk nM NkMp p CCC C  ) 1 (

　 ). (   N

　超几何分布的极限分布为二项分布。

　（4）泊松定理 若当 0 ,      np n 时 ，则    ekp p Ckk n k kn!) 1 (

　 ). (   n

　其中 k=0，1，2，…，n，…。

　二项分布的极限分布为泊松分布。

　第六章

　样本及抽样分布

　（1）数理 统 计的 基 本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

　个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

　样本 我们把从总体中抽取的部分样品nx x x , , ,2 1称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nx x x , , ,2 1 表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nx x x , , ,2 1 表示 n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。

　样 本 函数 和 统计量 设nx x x , , ,2 1 为总体的一个样本，称   

　（nx x x , , ,2 1 ）

　为样本函数，其中  为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称  （nx x x , , ,2 1 ）为一个统计量。

　常 见 统计 量 及其性质 样本均值

　.11niixnx

　样本方差

　niix xnS12 2. ) (11 样本标准差

　 . ) (1112niix xnS

　样本 k 阶原点矩

　 niki kk xnM1. , 2 , 1 ,1

　样本 k 阶中心矩    niki kk x xnM1. , 3 , 2 , ) (1

　  ) (X E ，nX D2) ( ， 2 2 )(   S E ，2 21) * ( nnS E , 其中 niiX XnS12 2) (1* ，为二阶中心矩。

　（2）正态 总 体下 的 四大分布 正 态 分布 设nx x x , , ,2 1 为来自正态总体 ) , (2  N 的一个样本，则样本函数 ). 1 , 0 ( ~/Nnxudef  t 分布 设nx x x , , ,2 1 为来自正态总体 ) , (2  N 的一个样本，则样本函数 ), 1 ( ~/n tn sxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。

　分布2

　设nx x x , , ,2 1 为来自正态总体 ) , (2  N 的一个样本，则样本函数 ), 1 ( ~) 1 (222nS nwdef 其中 ) 1 (2 n  表示自由度为 n-1 的2 分布。

　F 分布 设nx x x , , ,2 1 为来自正态总体 ) , (21  N 的一个样本，而ny y y , , ,2 1 为来自正态总体 ) , (22  N的一个样本，则样本函数 ), 1 , 1 ( ~//2 122222121  n n FSSFdef 其中 , ) (11211211niix xnS

　 ; ) (11212222niiy ynS

　) 1 , 1 (2 1  n n F 表示第一自由度为 11 n ，第二自由度为 12 n 的 F 分布。

　（3）正态 总 体下 分 布的性质 X 与2S 独立。

　第七章

　参数估计

　（1）点 估计 矩 估计 设总体 X 的分布中包含有未知数m   , , ,2 1 ，则其分布函数可以表成 ). , , , ; (2 1 mx F     它的 k 阶原点矩) , , 2 , 1 )( ( m k X E vkk   中 也 包 含 了 未 知 参 数m   , , ,2 1 ，即 ) , , , (2 1 m k kv v      。又设nx x x , , ,2 1 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 nikixn11 ). , , 2 , 1 ( m k  

　这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有       nimi m mnii mnii mxnvxnvxnv12 1122 1 212 1 1.1) , , , (,1) , , , (,1) , , , (               由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数) , , , (2 1  m    即为参数（m   , , ,2 1 ）的矩估计量。

　若 为  的矩估计， ) (x g 为连续函数，则 )ˆ(  g 为 ) (  g的矩估计。

　极 大似 然估计 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为 ) , , , ; (21 mx f     ，其中m   , , ,21 为未知参数。又设nx x x , , ,21 为总体的一个样本，称 ) , , , ; ( ) , , , (11 12 2 nim i mx f L        

　为样本的似然函数，简记为 L n .

　 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为) , , , ; ( } {21 mx p x X P       ，则称 ) , , , ; ( ) , , , ; , , , (11 1 12 2 2 nim i m nx p x x x L         

　为样本的似然函数。

　若似然函数 ) , , , ; , , , (2 21 1 m nx x x L      在m     , , ,21 处取到最大值，则称 m     , , ,21  分别为m   , , ,21 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

　m iLiiin, , 2 , 1 , 0ln    

　若 为  的极大似然估计， ) (x g 为单调函数，则 )ˆ(  g为 ) (  g 的极大似然估计。

　（2）估 计量 的无 偏性 设 ) , , , (2 1 nx x x     为未知参数  的估计量。若 E （ ）=  ，则称  为  的无偏估计量。

　E（ X ）=E（X）， E（S2 ）=D（X）

　评 选标准 有 效性 设 ) , , , , (2 11 1nx x x     和 ) , , , , (2 12 2nx x x     是未知参数  的两个无偏估计量。若 ) ( ) ( 2 1    D D ，则称2 1   比 有效。

　一 致性 设n 是  的一串估计量，如果对于任意的正数  ，都有 , 0 ) | (| lim       nnP

　则称n 为  的一致估计量（或相合估计量）。

　若 为  的无偏估计，且 ), ( 0 )ˆ(    n D  则 为  的一致估计。

　只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

　（3）区 间估计 置 信区 间和 置信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数  。如果我们从样 本nx x x , , , ,2 1 出 发 ， 找 出 两 个 统 计 量) , , , , (2 1 1 1 nx x x     与 ) , , , , (2 1 2 2 nx x x     ) (2 1   ，使得区间 ] , [2 1  以 ) 1 0 ( 1      的概率包含这个待估参数  ，即 , 1 } {2 1        P

　那么称区间 ] , [2 1  为  的置信区间，   1 为该区间的置信度（或置信水平）。

　单 正态 总体 的期 望和 方差 的区 间估计

　 设nx x x , , , ,2 1 为总体 ) , ( ~2  N X 的一个样本，在置信度为   1 下，我们来确定2  和 的置信区间] , [2 1  。具体步骤如下：

　（i）选择样本函数； （ii）由置信度   1 ，查表找分位数； （iii）导出置信区间 ] , [2 1  。

　已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 ). 1 , 0 ( ~/0Nnxu 

　(ii) 查表找分位数 . 1/0    nxP

　（iii）导出置信区间  nxnx0 0,

　未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 ). 1 ( ~/ n tn Sxt

　(ii)查表找分位数

　. 1/    n SxP

　（iii）导出置信区间  nSxnSx   ,

　方差的区间估计 （i）选择样本函数 ). 1 ( ~) 1 (222 nS nw  （ii）查表找分位数

　. 1) 1 (2221   S nP

　 （iii）导出  的置信区间  SnSn1 21,1  第八章

　假设检验

　基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。

　为了检验一个假设 H 0 是否成立。我们先假定 H 0 是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H 0 是不正确的，我们拒绝接受H 0 ；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H 0 ，我们称 H 0 是相容的。与 H 0 相对的假设称为备择假设，用 H 1 表示。

　这里所说的小概率事件就是事件 } {R K  ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取 0.01 或0.10。

　基本步骤 假设检验的基本步骤如下：

　(i) 提出零假设 H 0 ；

　(ii) 选择统计量 K ； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值nx x x , , ,2 1 计算统计量之值 K ； 将  与K 进行比较，作出判断：当 ) ( | |     K K 或 时否定H 0 ，否则认为 H 0 相容。

　两类错误

　第一类错误 当 H 0 为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定 H 0 。这时，我们把客观上 H 0 成立判为 H 0 为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P{否定 H 0 | H 0 为真}=  ； 此处的α恰好为检验水平。

　第二类错误 当 H 1 为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受 H 0 。这时，我们把客观上 H 0 。不成立判为 H 0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记  为犯此类错误的概率，即 P{接受 H 0 | H 1 为真}=  。

　两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时，  变小，则  变大；相反地，  变小，则  变大。取定  要想使  变小，则必须增加样本容量。

　在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如 0.01，甚至 0.001。反之，则应把α取得大些。

　单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2

　0 0:    H

　nxU/00 

　N （0，1）

　21| |u u

　0 0:    H

　 1u u

　0 0:    H

　  1u u

　未知2

　0 0:    H

　n SxT/0 

　) 1 (  n t

　) 1 ( | |21 n t t 0 0:    H

　) 1 (1 n t t 0 0:    H

　) 1 (1  n t t 未知2

　2 20:    H

　202) 1 (S nw

　) 1 (2 n 

　) 1 () 1 (22122  n wn w 或 2020:    H

　) 1 (21 n w

　2020:    H

　) 1 (2  n w

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