精心研究五题型轻松求解三角形

安徽省枞阳县宏实中学 朱贤良 246700

安徽省枞阳县教育教学研究室 徐维武 246700

“解三角形”这一板块知识涵盖了求三角形的边、角、面积、三角函数值以及诸多知识的综合运用等问题，既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数和平面向量知识考查的重要载体，同时也是解决三角形中的数量关系以及天文、地理及航海等生产生活实际问题的重要工具.

解三角形问题能很好地考查三角函数中的基本概念、公式、定理，并有效检测考生的逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养，因而在历年高考中都占有重要地位.综观高考中的解三角形试题，其命题形式丰富多样，既体现基础性又突出综合性，题目的类型、所用到的方法、所体现的规律是非常值得总结的.结合对近些年高考试题的分析，本文拟对解三角形中常见问题的类型与求解方法作一初步的归纳，力求达到以少胜多、提高效率的目的.

三角形有三条边与三个角等六个要素，根据边角中的三个可求其余三个（已知三角除外），此即解三角形中的知三求三问题.具体来说，知三求三问题可根据已知条件的不同分为以下五类：（1）已知三边求三角，先由余弦定理求某一角，再由余弦定理或正弦定理求其余两角.（2）已知两边及夹角求其余要素，先由余弦定理求第三边，再由余弦定理或正弦定理求其余两角.（3）已知两边及其中一边的对角求其余要素，先由余弦定理求第三边，或先由正弦定理求第二个角，再由余弦定理或正弦定理求其余边与角.需要注意的是，此类问题最多会有两组解.（4）已知两角及公共边求其余要素，先由三角形内角和定理得到第三角，再由正弦定理求其余两边.（5）已知两角及其中一角的对边求其余要素，同上一类问题，先由三角形内角和定理得到第三角，再由正弦定理求其余两边.

例1（2018 年高考全国Ⅰ卷·理17）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求 cos ∠ADB；
（2）若，求BC.

图1

评注：在求解知三求三类型的问题时，需要搞清楚已知什么，需要求的是什么，以便选择合适的求解思路.

例2（2013 年高考全国Ⅰ卷·理17）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.（1）若，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan ∠PBA.

图2

评注：当图形中的三角形较多时，要注意分析条件，观察哪些三角形可解，哪些三角形不可解，由此探寻求解思路.

三角形中的边角转化原则是通过统一边与角实现化繁为简，化未知为已知.一方面考虑化边为角，从而将问题转化为三角函数问题；
另一方面考虑化角为边，从而将问题转化为代数变形问题.一般来说，当题目条件所给的是边或者正弦为齐次式时，可以运用正弦定理进行转化；
当出现边的二次或者两边之积时，符合余弦定理的特征，则可考虑用余弦定理进行边角转化.

例3（2017 年高考全国Ⅱ卷·文16）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= _____.

解析：条件中的已知式“2bcosB=acosC+ccosA”既可以考虑化边为角，也可以考虑化角为边，因此有两个思路.

思路1：化边为角

由正弦定理化边为角：2bcosB=acosC+ccosA⇒2 sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2 sinBcosB=sin(A+C)，即2 sinBcosB=sinB，即cosB=，故B=.

思路2：化角为边

评注：遇到边角关系式，到底是统一成边（代数恒等变形），还是统一成角（三角恒等变换），可以根据题目的设问进行适当选择，实现优化解题.

例4（2019 年高考全国Ⅰ卷·理17）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.（1）求A；
（2）若a+b=2c，求sinC.

解析：注意到条件式“(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC”中的正弦为齐次式，应当考虑化角为边.

评注：利用边角转化解题的关键是要仔细分析题目条件与结论的结构特征，先预判，再选择合理的转化策略.

三角形面积的计算途径较多，如割补法、海伦-秦九韶公式等，但在高考数学试题中的考查主要有二个：一是小学时即熟知的“底与高乘积的一半”；
二是用三角形的边角表示面积.在具体问题中，要结合题目的已知条件来选择合适的面积公式.

例5（2018 年高考全国Ⅰ卷·文16）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为_____.

解析：本题是求△ABC的面积，这就需要对已知条件进行等价变形，以确定三角形面积的计算公式.

评注: 本题选择公式S=bcsinA来计算三角形的面积，是基于对条件中的两个等式的变形分析.

例6（2015 年高考全国Ⅱ卷·理17）如图3，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长.

图3

解析: 本题的条件中未给出边长与角度及其关系，仅给出了角平分线分割出的两个三角形面积之间的关系S△ABD=2S△ADC.如何理解这一面积间的关系并作适当转化，是求解问题的关键.

思路2：用边与角来表示面积

评注: 在本题的求解过程中，合理地选择了三角形面积的计算方法，就是找到了正确的切入点与突破口.

在解三角形的背景下，设置与边长、角度、周长、面积等相关的最值与取值范围问题，成为十分常见的命题角度.这类问题注重与函数、不等式和几何等知识的交汇融合，求解时需要充分利用正余弦定理、面积公式、三角形的内角和定理，并结合平面几何、基本不等式以及函数值域与最值等知识来实现破解.

例7（2011年高考全国课标卷·理16）在△ABC中，B=60°，，则AB+2BC的最大值为________ .

评注: 运用函数思想解决此类问题有两个关键步骤，一是合理选择自变量以建立函数关系；
二是准确求解函数值域或最值.

例8（2019 年高考全国Ⅲ卷·理18 文18）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsinA.（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

评注: 先根据正弦定理化角为边，再利用余弦定理和均值不等式，求得cosC的最小值，体现了转化与化归的数学思想.

例10（2015 年高考新课标全国Ⅰ卷·理16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是_____.

解析: 作为一道解三角形问题，首要的问题是弄清“三角形”在哪里，即解哪一个三角形，故考虑连接四边形的任一对角线.如图4，在△ABC中，BC=2，∠B=75°，用解三角形知识与函数思想可求AB的取值范围.换个角度，我们也可以尝试从画图的角度来确定AB的变化规律.如图5，先画定线段BC=2，继而以BC为公共边作∠B=∠C=75°，再在∠B的另一边上选一点A，作∠BAD=75°交∠C另一边于点D，即得与题意相符的四边形ABCD.显然点A在线段A1A2上运动（不含两端点）.

图4

图5

评注: 取值范围与最值问题最普遍的求解方法是利用函数思想，如思路1，关键在于合理选择自变量，进而构建函数关系式，解法厚重而大气；
思路2从运动的角度入手，着重理清点A的运动轨迹，直观而轻盈.

在生产和社会生活中，很多时候都需要测量距离、高度和角度等数学量，尤其是在物理、航海和工程技术方面，均有解三角形的运用.求解三角形实际应用问题时，我们可抽象出数学模型，然后正确使用正余弦定理去解决.

例11（2009 年高考海南宁夏卷·理17）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如示意图6)，飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示,并在图中标出）；
②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

图6

解析: 计算M,N间的距离，首要的是以MN为边构建三角形.结合飞机能够测量的数据包括俯角和A,B间的距离，故考虑连接AM,AN,BM,BN,MN，如图7 所示.这样，通过解图7中的三角形即可求得M,N间的距离.①需要测量的数据：点A到点M,N的俯角α1,β1，点B到点M,N的俯角α2,β2，A,B两点间的距离d.②计算M,N间距离的步骤：

图7

评注: 本题让考生拟定测量方案，与传统计算型问题相比，更能有效考查考生分析、解决问题的能力，让人耳目一新.

例12（2013 年高考江苏卷·18）如图8，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50mmin，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B，在B处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130mmin，山路AC 长为1260 m，经测量，cosA=，.（1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

图8

评注: 本题来源于生活，来源于教材，但又髙于教材，考査学生对知识的综合应用能力.在解三角形和分式不等式、绝对值不等式交汇处命题，同时要求学生具有较强的数学建模能力.

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