基于参考点信息预测的动态多目标优化经济决策模型研究
徐奇 侯星 吴亚婷
摘 要：在经济决策的许多应用领域中存在着大量的动态多目标优化问题，根据动态多目标优化问题具有随环境变化而改变的特性，提出了一种基于参考点信息预测的动态多目标优化决策模型（RGPS）。当环境发生变化时，通过选取当前环境下关联个体较多的参考点，将同一参考点下的个体作为子种群，每个子种群的质心作为预测点集。利用历史种群信息，对历史时刻关联到同一参考点的个体质心建立时间序列，通过灰色预测策略产生预测个体；
同时为了增加种群的多样性，在每个预测个体加上扰动。实验结果表明RGPS模型在处理動态多目标经济决策问题的有效性。
关键词：动态多目标优化；
灰色预测；
参考点；
时间序列
中图分类号：F224.3 文献标识码：A 文章编号：1671-9255（2023）01-0043-05
一、文献综述
随着中国开放经济已成体系并日益复杂，在科学管理与经济决策的许多应用领域中存在着很多动态多目标优化问题（DMOPs）[1]，例如，在经济决策问题中既要使社会总产值有较高的增长速度，又需要保持产品一定的增长速度，同时还要使环境污染程度尽可能降低。牛鸿蕾等人根据低碳经济发展目标对工业行业进行重新归类，并根据动态多目标优化模型，以预测未来5年中国工业结构调整的碳排放效应。[2]文旭等人针对现有环境经济调度模型无法满足污染气体排放风险管理的现状，建立计及污染气体排放风险的多目标随机动态环境经济调度模型，其仿真实验证明了所提模型的有效性。[3]动态多目标优化问题中目标之间难以进行比较，且目标之间相互冲突，相关参数可能随着外部环境的变化而改变，因此，解决动态多目标优化问题要考虑如何在环境变化时较快地找到当前时刻的最优解集，以响应环境变化。
通常，一个具有 维决策变量， 个目标函数的DMOPs定义为：
其中， 为时间变量，f=（f1，f2，…，fm）是与 相关的 维目标函数，x=（x1，x2，…xn）为 维决策变量， 为决策空间， 和 分别为不等式和等式约束。[4]
当前，根据求解DMOPs不同动态处理策略，可以分为基于记忆的策略、种群多样性保持策略和基于预测的策略。[5-10]相对于其他策略，预测策略有着更加广泛的适用性，通过寻找问题的变化趋势来生成符合环境变化规律的初始种群。预测策略能否有效的引导种群进化依赖于每个历史环境获得最优解集的质量和从历史环境中获得有效的引导种群进化的信息。Wang等人提出了一种基于灰色预测模型的预测方法（GM-DMOPs），通过将种群分为多个聚类，利用每个聚类的质心建立灰色预测模型，生成新环境下的种群个体，实验结果表明了将灰色预测策略引入DMOPs的有效性。[11]丁进良等人提出了一种基于参考点预测策略的模型，通过对关联到相同参考点的个体建立时间序列，使用线性回归预测模型产生新环境下的初始种群以实现快速响应环境变化，加快种群在新环境下的收敛速度。[12]李二超等人提出了一种基于参考线预测策略的模型，通过记录每个参考线关联的个体在环境变化初始时和个体自主进化后个体位置的变化，以预测最优个体所在的方向。[13]尽管这些模型能够较好地响应环境变化，但在环境变化过程中，如何迅速收敛仍然是动态多目标优化问题的难点之一。
本文基于文献[11]中的灰度预测模型提出了一种基于参考点的灰度预测模型（RGPS），在环境变化后，利用结构化参考点和种群个体关联的策略来记录历史信息，选取当前环境最靠近真实Pareto前沿面（PF）的参考点集，利用历史种群信息，对不同环境且关联在同一参考点下的个体的种群质心作
为一个时间序列，对每一个时间序列利用灰度预测策略预测产生新环境下的个体，从而引导种群进化方向，加快模型的收敛速度。通过对FDA和DMOP测试函数集上的7个标准动态测试函数的实验[4，140]，表明了RGPS模型具有更好的收敛速度，能够快速地对环境变化做出响应。
二、基于参考点信息预测的动态多目标优化决策模型（RGPS）
在本节中，我们将详细描述RGPS模型的构建过程，该模型受到高斯逆建模方法的影响。[15]为了清晰和易于理解，整个RGPS模型分为预处理和模型搭建两个主要部分，其中（一）～（三）小节主要介绍RGPS模型的参考点生成方法、环境与参考点的关联策略及灰度预测模型的运行机理，（四）～（五）小节主要介绍种群初始化及RGPS模型的运行机理及步骤。RGPS模型主要是利用均匀分布的参考点信息加快个体与参考点的关联效率，利用历史种群信息寻找个体种群质心的简化方法来预测新环境下的个体，从而加快预测模型在新环境下的收敛速度。
（一）基于高斯逆建模方法的个体关联
本文采用高斯逆建模方法设计生成均匀分布在超平面上的参考点。对于给定的 个目标问题，在每个轴上具有均匀间距 的归一化超平面上生成 个点。设 是每个目标轴的等距划分数（即 ），生成的参考点个数 计算为：
图1为三目标优化问题参考点生成示意图，其中 （ ）， 。
参考点与个体的关联方式如下：首先，连接每个参考点和原点作为该参考点的参考向量。然后，计算个体与每个参考向量的垂直距离，最后个体将与距离最小的参考点进行关联。图2给出两目标问题中个体 与参考点 的关联示意图。
（二）选取预测个体
当环境发生变化后，种群会自主向当前环境下的PF方向进化。研究表明[16]，随着种群进化，距离真实Pareto前沿面的参考点关联个体越多。因此，每个参考点信息对预测过程并非同等重要。基于这一特点，本文选出当前环境下关联个体较多的参考点，将同一参考点下的个体作为子种群，每个子种群的质心作为预测点集，利用历史种群信息，比对同一参考点下质心位置的变化，以反应环境变化的方向。具体步骤见方法1。
方法1 预测个体选取策略
Step 1：利用第一小节方法对当前种群个体进行参考点关联。利用非支配排序算法，记录每个个体所在支配层信息。
Step 2：计算各参考点关联的个体数 ，并进行降序排列，选取前 个参考点。其中，若两个参考点关联个体数一致，则选择关联的个体支配层靠前多的参考点信息。//H为参考点个数。
Step 3：根据公式（3）将当前环境 时刻选取的参考点 关联的个体求其质心。
其中， 为该参考点关联的个体數，xm（m=1，…，p）是 关联的个体。
（三）构建基于参考点的灰度预测模型
灰色预测模型是灰色系统理论的重要部分，在处理部分信息不完全或不确定的系统是非常有效的。[017-0]其通过识别系统因素之间发展趋势的相异程度，找出无序、不规则的原始数据中的内在规律，将原始数据变成规则的数据序列，以建立预测模型进行预测。
在灰色预测模型中，研究人员最常使用的预测模型是GM（1，1）。假设 为样本原始数据序列，GM（1，1）模型为， 。其中，a为发展灰数；
为内生控制灰数；
是原始数据通过使用累加生成新序列 （， ）。
然后进行累减还原，可以计算出所需要的预测值：
GM（1，1）预测模型是单变量模型，只能预测单个值，不能直接用于求解动态多目标问题。Wang提出了一种可以处理动态多目标问题中多变量问题的方法[11]，其依据k-mean聚类的方法求种群质心，但随机初始化质心位置会对最后的聚类结果有很大的影响。因此，本文根据参考点信息从四个时刻的子种群中选择同一参考点产生的质心点构建一个时间序列，建立灰色预测模型，对 时刻的种群个体进行预测。
假设决策空间为 维，种群规模为 ，根据3.2节从 时刻选取 个参考点。将从环境 时刻选取的参考点 关联的个体种群 通过式（3）求得种群质心为 ；
同样，根据历史信息求出 ， ， 时刻下参考点 关联的个体种群的种群质心 ， ， 。
根据个体维数计算每个质心点的平均值 ，构建一个时间序列 ，通过式（4）预测新环境 的平均值 。
当样本数据可以预测，那么每个变量的历史数据之和与所有数据之和的比值可以作为对变量的比值估计。假设 的预测值为 ，通过 计算得到质心点的和值，根据分配比例 可以将和值分配给每个分量 ， 通过式（5）确定：
根据式（6）可得到下一环境 时刻的预测个体：
（四）初始化种群
为了使群保持良好的多样性和收敛速度，将新环境 时刻的初始种群 分为记忆种部分、预测部分和随机部分。其中，记忆种群从 时刻种群中选择排名靠前的 个体构成。对于预测部分， 是新环境中参考点 的预测个体，假设在每个预测个体附近生成 个个体，其通过式 （7）在预测个体附近产生：
其中， 是预测产生的个体；
是标准偏差，定义为：
其中， 是决策空间维数。其余的随机部分中的个体通过随机方法生成，个数为 。
（五）RGPS模型建立步骤
RGPS模型以GM-DMOPS为基本框架[11]，当环境发生变化时，利用参考点信息对下一时刻种群进行预测，具体建立步骤如下：
Step 1：设置初始化参数，最大进化代数 ，种群规模为 ，初始环境 ，环境变化幅度 ，环境变化频率 ；
Step 2：初始化：
；
初始化种群 ；
当前进化代数 ；
Step 3：环境检测。如果环境发生变化，则跳转步骤4，否则，跳转步骤9；
Step 4：if do；
Step 5：根据第二小节选出参与预测的参考点 ；
Step 6：根据第三小节预测生成下一时刻的个体；
Step 7：根据第四小节确定产生种群大小为 的预测种群作为下一时刻的初始种群 ；
Step 8：end if；
Step 9：对当前种群进行进化操作，根据第一小节方法将个体与参考点关联，并存储种群信息；
Step 10：判断是否满足停止条件。若满足，则停止；
否则， ，跳转步骤3。
三、实验数据分析
（一）测试问题
本文选取了7个FDA系列和DMOP系列作为测试函数。在7个测试函数中，FDA系列问题的决策变量之间是线性相关的，DMOP系列问题是对FDA系列问题的拓展。其中，FDA1、FDA4和DMOP3属于第一类问题，PS随时间变化，PF不随时间变化；
FDA2和DMOP1属于第二类问题，PS不随时间变化，PF随时间变化；
FDA3和DMOP2属于第三类问题，PS和PF都随时间变化。
（二）评价指标
本文采用两个评价指标来评价算法性能，具体如下：
1．反向世代距离[19]，IGD（Inverted Generational Distance）
IGD用来评估种群的收敛性和种群的多样性，算法性能越好，IGD值越小。公式如下：
其中， 为真实PF中的种群个体数， 为真实PF中的每个个体到求出的种群个体的最短距离。
2．Schott的间隔度量[20]，SP（ spacing metric）
SP是通过计算所求解集在目标空间的分布性来评价模型的性能。SP值越小，说明求得的解集分布越均匀，公式如下：
其中， 是算法求出的每个个体到真实PF中的个体最小距离， 为 的均值， 为求出的种群个体个数。
（三）参数设置
（1）基准函数参数设置：测试函数环境的变化频率 ，环境变化的严重程度 ，最大迭代次数 。即对每个测试函数设置20个环境变化，算法运行300代停止，每个算法独立运行30次。
（2）種群进化部分参数设置：种群规模 =200，交叉概率为0.9，变异概率为0.1。
（3）预测过程选取参考点个数：
。
（四）实验结果分析
对于每一类测试问题，本文将所提RGPS模型与DNSGA2-B和GM-DMOPS进行了对比[8，11]，分别在7个测试函数上运行30次。3种模型性能评价指标IGD和SP统计均值见表1。
通过对比表1中数据，可以看出，本文所提RGPS模型的IGD值和SP性能指标在大部分测试函数上都优于DNSGA2-B和GM-DMOPS模型。
通过选取3种算法在7种测试函数的部分时刻的Pareto最优解集， RGPS模型在大多数测试函数中前期表现出了更好的收敛性，但是分布性较差，这是因为在进行参考点个体关联时，初始种群分布不均匀，有些参考点并未关联个体，从而陷入局部最优解，但经过进化，种群的分布性得到了改善。在处理第二测试问题（FDA2，DMOP1）和第三类测试问题（FDA3，DMOP2）时，测试函数在环境发生变化后，其PF会发生变化，RGPS模型能够根据历史参考点信息，更好的对环境变化后的种群进行预测，在保持种群收敛的同时，仍然有较好的分布性。整体来看，RGPS模型相较于DNSGA-II和GM-DMOPS模型表现更好，所得解集分布较为均匀，更加接近测试函数的真实前沿。
四、结论
经济决策的许多应用领域都存在着大量的动态多目标优化问题。对于求解动态多目标优化问题，在环境发生变化后快速找到当前环境下的最优解集，是设计算法模型的研究重点。本文设计了一种基于参考点信息预测的动态多目标优化模型，当环境发生变化后，该模型选取当前环境最靠近真实Pareto前沿面的参考点集，利用历史种群信息，对不同环境且关联在同一参考点下的个体的种群质心作为一个时间序列，对每一个时间序列利用灰度预测策略预测新环境下最优解的潜在分布区域，加快模型响应环境变化的速度。通过与其他模型在7个标准测试函数上的对比，证明了RGPS模型在平衡种群多样性和收敛性的同时，能够快速响应环境变化，可以适用于多种动态多目标优化问题。
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Research on Dynamic Multi-objective Optimization Economic Decision Model Based on Reference Point Information Prediction
Xu Qi，Hou Xing，Wu Yating
（School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University，Huaibei， Anhui 235000）
Abstract：There are a lot of dynamic multi-objective optimization problems in many application fields of economic decision-making. According to the characteristics of dynamic multi-objective optimization problems changing with the environment， this paper proposes a dynamic multi-objective optimization decision model （RGPS） based on reference point information prediction. When the environment changes， by selecting the reference points with more related individuals in the current environment， the individuals under the same reference point are taken as the subpopulation， and the centroid of each subpopulation is taken as the prediction point set. Using historical population information， a time series is established for the individual centroids associated with the same reference point at historical time， and the predicted individuals are generated by the grey prediction strategy. At the same time， to increase the diversity of the population， perturbation is added to each predicted individual. Experimental results show that RGPS model is effective in dealing with dynamic multi-objective economic decision problems.
Key words：
Dynamic multi-objective optimization; Grey forecast; Reference point; Time series
收稿日期：2023-02-06作者簡介：徐奇（1995－ ），男，安徽蚌埠人，淮北师范大学计算机科学与技术学院硕士研究生。
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