不同非局部系数的薛定谔方程特征研究
周 荧,王 跃
(贵州大学数学与统计学院,贵州 贵阳 550025)
研究物质运动时,微小粒子的活动总容易被人们忽略,然而就是这种微乎其微的粒子运动,引起了物理数学家们的广泛关注。研究表明,Schrödinger方程可以用来刻画微小粒子的这种特殊运动。正因如此,近年来Schrödinger方程的研究受到国内外众多学者青睐。事实上,自从1926年奥地利物理学家Schrödinger提出了著名的Schrödinger方程后,量子力学的发展上升到更高的平台,这类方程的研究不仅仅在量子力学方面扮演重要角色,在航空航天和机工设计等一系列的精密专业理论和实践中都为社会作出了大量贡献,时至今日,科学家们已经在这方面取得了许多举世瞩目的成就。
Schrödinger方程与混沌现象密切相关,尽管普遍的数学物理学家认为这种方程是Schrödinger本人在不经过严格推导的情况下利用试探或者统计方法推测而得,但是在自由粒子的运动中,Schrödinger方程能够完全融洽地解释单色平面波的波函数,在Schrödinger方程的研究中往往会涉及到动能和势能,人们通过寻找所对应的Hamilton方程间接求出抽象解。在双缝干涉问题上,Schrödinger方程还能解释光的波动性和粒子性,大量的研究现象表明驻波状态ψ(t,x)=u(x)eiϖt的解能够解释诸如光子运动等许许多多的自然现象,因此在这种状态下往往让人们对定态Schrödinger方程产生特定的兴趣。例如在文献[1]中,作者考虑了x∈2时的如下的Schrödinger方程解的问题:
(1)
-Δψ+ωψ=h(ψ),x∈2
他们通过Nehari流形方法证明了问题(1)在Nehari流形上存在解,而当μ→0时也得到与文献[1]类似的结果。进一步,作者假设了ω是连续非负的偶函数并且μ>0比较小时,问题(1)也存在解。
在文献[5]中,作者考虑了带有实值位势函数的半线性自伴随Schrödinger方程,其中的反射系数差异的估计由相应的位势函数差异和边界条件中的参数给出,他们根据相应散射数据的差异给出了对电位差异的估计。在文献[6]中,作者研究了Schrödinger方程传输型特征值问题的部分逆问题,其结果表明:已知特征值的数量和给定电位势的子区间长度时,如果先验部分是已知位势,则只有部分特征值才能唯一确定相应的位势与密度之间的关系。文献[7]中利用上下解方法获得带有同种类型非局部系数的Schrödinger方程解的存在性。文献[8-9]利用变量分离思想和代数分析方法构造出非局部问题的解,促进非局部问题的数值模拟。文献[10]中利用(1/G)和(1/G′)展开方法得到时滞情形的二阶三次Schrödinger方程的双曲函数解和有理函数解。而在文献[11]中,作者在已有文献的基础上利用Mathematica软件刻画了时滞情形的二阶三次Schrödinger方程的四类解析解。
考虑到文献[1-7]均涉及到复杂的假设条件和研究方法,所得到的结果也仅仅是解的存在性,并不知道解具有哪些特殊的性质。而文献[10-11]在无边界约束下的时滞问题上刻画了解析解。因此,不同于他们的问题和结果,我们将在有界区域上利用文献[8-9]的方法并结合文献[12]中介绍的谱理论方法考虑带有不同的组合非局部系数下的Schrödinger方程(1)的如下特殊情形:
(2)
进一步,从a,b同时为零、同时非负、同时非正以及异号这几种情况可以将定理细化描述为:
(ⅰ) 如果a=b=0,那么对任意的λ∈R,当存在i≥1使得λ=μi时方程(2)有无穷多对解;当对任意的n≥1都满足λ≠μn时方程(2)只有平凡解。
(ⅱ) 如果a,b≥0且a+b>0,则对任意的λ∈R,方程(2)都有无穷多对解。
(ⅲ) 如果a<0且b≤0,那么λ≤μ1时方程(2)只有平凡解;而μn<λ≤μn+1时有n对非平凡解。
(ⅴ) 如果a<0且b>0,那么对任意的λ∈R,方程(2)都有无穷多对解。
(3)
这里的μn为特征值,φn为特征函数,并且对方程
(4)
(5)
是方程(4)存在解的唯一选择情况。
(6)
于是
(7)
因此(6)式成立的条件转换为代数方程(7)成为恒等式时的条件。
下面,从a,b同时为零、只有一个为零、都不为零这3种情况出发,分类讨论方程(7)成立时λ的范围。也就是说只有如下的2种情况:
立足于上述两种情况,下面逐项证明主要结果:
情形(ⅰ)当a=b=0时,除非存在某个i使得λ=μi,此时对任意的t∈R来说,u(x)=tφi(x)都是方程(2)的解,见图1至图3;否则方程(2)只有平凡解。事实上,当a=b=0时方程(2)退化为特征值问题(4)的样子。因此,式(5)是方程(4)存在解的唯一选择情况,存在某个i的情况下只能取n=i。故在a=b=0的前提下对任意的n≥1都满足λ≠μn时方程(2)只有平凡解。
图1 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,当λ=μ1时的图像
图2 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,当λ=μ2时的图像
图3 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,当λ=μ3时的图像
情形(ⅱ)如果a,b≥0且a+b>0,那么
于是,当λ<μ1时,对∀n≥1,有
此时方程(2)有无穷多成对出现的解
若μj≤λ<μj+1对某个j成立,那么对所有的n≥j+1,tn总是实根,也就是说μj≤λ<μj+1时方程(2)有无穷多成对出现的解并且可以表示为
图4和图5直观地描述了当λ处于不同范围时解的曲线以及对应极值之间的关系。
解曲线所对应的几何图像如图6中所示。
图4 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,当λ<μ1时的图像
图5 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,当λ∈[μ5,μ6)时的图像
图6 在Ω=(0,1),a<0,b≤0的前提下,当λ∈(μ5,μ6]时的图像
当μ1≤μj≤λ<μj+1≤μr+1时,此时只有n=j+1,…,r才使条件一的实数t存在,并且j=r时t=0,对考虑j 当λ<μ1时,对n=1,…,r来说满足条件一的非零实数t都存在,此时方程(2)有r对非平凡解,此时的解可以表述为: 当μj<λ≤μj+1对某个j≥1成立时,此时对n=1,…,j,条件二总成立,也就是说满足条件二的非零实数t总存在,此时方程(2)有j对非平凡解,此时的解可以表述为: 当λ≤μ1时,与条件二构成矛盾关系,满足条件二的实数t不存在; 图7 在Ω=(0,1),a=0,b<0的前提下,当λ∈(μ7,μ8]时的图像 当λ≤μ1时,与μn<λ矛盾,从而满足条件二的实数t不存在; 当μj≤λ<μj+1对某个j成立时对n=j+1,2,…,∞,n≠i,条件一都成立,方程(2)有无穷多解形如 当λ<μr时,对n=r+1,…,∞都满足μn>λ,从而满足条件二的实数t总存在,此时对任意的n=r+1,…,∞,n≠i,条件一都成立,方程(2)有无穷多解可以表示为 当μr≤μj≤λ<μj+1对某个j成立时,对n=j+1,…,∞都满足μn>λ,从而满足条件二的实数t总存在,此时对任意的n=j+1,…,∞,n≠i,条件一都成立,方程(2)有无穷多解可表示为 文中讨论含有函数型积分,函数梯度型积分以及参数型三种混合系数下的Schrödinger方程,利用代数分析技巧罗列方程的解并给出相应的数值图像。事实上,从方程自身而言,可以分为三种: (ⅰ) 当b=0时,如果a=0,则存在i使得λ=μi便保证了有无穷多解,任意i都满足λ≠μi便找不出非平凡解;如果a<0,则根据μi序列无穷正的特征,得到了非平凡解只有有限个,甚至可能没有;而a>0时也根据μi序列无穷正的特征,得到了非平凡解数量的无穷个。 对于文中罗列的解,已经是方程(2)的所有解,虽然这看起来不可思议,但只要利用反证法,如果方程(2)还存在不同于文中所提及的其他解u(x),那么解u(x)的给定便相应地决定了某个常数 结合谱理论立马便知道Λ一定是某个特征值。这样便得出矛盾。由于证明矛盾的过程仅仅是利用反证法将证明过程中的情形(ⅰ)至(ⅴ)重述了一遍,因此这里便不再赘述。
