教育教学一次函数教案
一次函数 一、一次函数定义
一般地，形如 ) 0 ( k b kx y 的函数叫做一次函数，特别地，当 0 b 时，它是正比例函数。
9.1 考点一：一次函数的概念 例 1、已知 5 ) 2 (32 mx m y ，当 m 为何值时，它是一次函数，求出这个函数的解析式。
变式训练：
1、已知函数 1 2 ) 2 ( k x k y ，当 k ________时，它是正比例函数；当 k ________时，它是一次函数。
二、一次函数的图象和性质
2.1 形状：一次函数的图象是一条
2.2 画法：确定
个点就可以画一次函数图像。一次函数与 x 轴的交点坐标（
,0），与 y 轴的交点坐标(0,
)，正比例函数的图象必经过两点分别是(0,
)、(1,
)。
2.3 性质：
①一次函数 ) 0 ( k b kx y ，当 k
0 时， y 的值随 x 值得增大而增大；当 k
0 时， y 的值随 x 值得增大而减小。
②正比例函数，当 k
0 时，图象经过一、三象限；当 k
0 时，图象经过二、四象限。
③一次函数 ) 0 ( k b kx y 的图象如下图，请你将空填写完整。
三、一次函数与正比例函数的关系
3.1 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
3.2 一次函数当 k
0, b
0 时是正比例函数。
3.3 一次函数 b kx y 可以看作是由正比例函数 kx y 平移 b 个单位得到的，当 0 ＞ b 时，向
平移 b 个单位；当 0 ＜ b 时，向
平移 b 个单位。
四、一次函数 ) 0 ( k b kx y 与 b k、 的关系
4.1 k 的正负决定直线的倾斜方向； ① 0 ＞ k 时， y 的值随 x 值的增大而增大； ② 0 ＜ k 时， y 的值随 x 值的增大而减小． 4.2 k 大小决定直线的倾斜程度，即 k 越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡）， k 越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）； 4.3 b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置； ①当 0 ＞ b 时，直线与 y 轴交于正半轴上； k
0,b
0 k
0,b
0 k
0,b
0 k
0,b
0
②当 0 ＜ b 时，直线与 y 轴交于负半轴上； ③当 0 ＝ b 时，直线经过原点，是正比例函数． 4.4 由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①当 0 ＞ k ， 0 ＞ b 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当 0 ＞ k ， 0 ＜ b 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当 0 ＜ k ， 0 ＞ b 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当 0 ＜ k ， 0 ＜ b 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． 4.5 由于 k 决定直线与 x 轴相交的锐角的大小， k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．
4.6 图像过定点 ) 0 0 ( ， , ) , 1 ( k
3 9.3 考点三：一次函数一次函数 ) 0 ( k b kx y 与 b k、 的关系
例 例 4、 、在同一直角坐标系中，函数 kx y 与 k x y 的图象大致应为（
）
五、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为 ) 0 ( k b kx y ； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式． 例如：已知一次函数的图象经过点 ) 1 , 2 ( 和 ) 3 , 1 ( 求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为 ) 0 ( k b kx y ， 由题意可知：
, 3, 2 1b kb k
解 .35,34bk
∴此函数的关系式为3534 x y ． 六、一次函数的图象
由于一次函数 ) 0 ( k b kx y 的图象是一条直线，所以一次函数 ) 0 ( k b kx y 的图象也称为直线 b kx y ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与 y y 轴的交点 ) , 0 ( b ，直线与 x 轴的交点 ) 0 , (kb .但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 kx y 的图象时，只要描出点 ) 0 0 ( ， , ) , 1 ( k 即可 七、点 ) , (0 0y x p 与直线 ) 0 ( k b kx y 的图象的关系
①如果点 ) , (0 0y x p 在直线 ) 0 ( k b kx y 的图象上，那么0 0 , yx 的值必满足解析式 ) 0 ( k b kx y ； ②如果0 0 , yx 是满足函数解析式的一对对应值，那么以0 0 , yx 为坐标的点 ) , (0 0y x p 必在函数的图象上．
OYX3A 3O xyB C3Yxo Dyxo3八、一次函数 数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 1 8.1 常数 b k、 对直线 ) 0 ( k b kx y 位置的影响．
①当 0 ＞ b 时，直线与 y 轴的正半轴相交； 当 0 ＝ b 时，直线经过原点； 当 0 ＜ b 时，直线与 y 轴的负半轴相交． ②当 b k、 异号时，即-kb＞0 时，直线与 x 轴正半轴相交； 当 0 ＝ b 时，即- 0 kb时，直线经过原点； 当 b k、 同号时，即-kb﹤0 时，直线与 x 轴负半轴相交． ③当 0 ＞ k ， 0 ＞ b 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； 当 0 ＞ k ， 0 ＜ b 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； 当 0 ＜ k ， 0 ＞ b 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； 当 0 ＜ k ， 0 ＜ b 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
2 8.2 直线 ) 0 ( k b kx y 与直线 ) 0 ( k kx y 的位置关系．
①直线 ) 0 ( k b kx y )平行于直线 ) 0 ( k kx y
②当 0 ＞ b 时，把直线 ) 0 ( k kx y 向上平移 b 个单位，可得直线 ) 0 ( k b kx y ； ③当 0 ＜ b 时，把直线 ) 0 ( k kx y 向下平移 b 个单位，可得直线 ) 0 ( k b kx y ． 1、已知方程 kx+b=0 的解是 x=3，则函数 y=kx+b 的图象可能是（
）
2、
) 0 (1 1 1 1 k b x k y 与直线 ) 0 (2 2 2 2 k b x k y 的位置关系．
3 8.3 直线①2 1k k
1 1 1b x k y 与2 2 2b x k y 相交； ②2 12 1b bk k1 1 1b x k y 与2 2 2b x k y 相交于 y 轴上同一点 ) , 0 (1b 或 ) , 0 (2b ； ③2 12 1,b bk k1 1 1b x k y 与2 2 2b x k y 平行； ④2 12 1,b bk k 1 1 1b x k y 与2 2 2b x k y 重合
九、典型例题 2 9.2 考点二：一次函数 ) 0 ( k b kx y 函数 值的确定
OYX3A 3O xyB C3Yxo Dyxo3例 3、直线1l ：1y k x b 与直线2l ：2y k x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式1 2k x b k x 的解为（
）
A、x＞－1
B、x＜－1
C、x＜－2
D、无法确定
（例 2）
3Oy 2 =x＋ay 1 =kx＋b（变式训练）
变式训练：一次函数 y 1 ＝kx＋b 与 y 2 ＝x＋a 的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当 x＜3 时，y 1 ＜y 2 中，正确的个数是（
）
A、0
B、1
C、2
D、3 变式训练：
1、已知方程 kx+b=0 的解是 x=3，则函数 y=kx+b 的图象可能是（
）
2、一次函数 n mx y 的图象经过第二、三、四象限，则化简2 2) ( n n m 的结果是（
）
A、 m
B、 m
C、 n m 2
D、 n m 2
9.4 考点四：一次函 数的图像 例 5、图 1 是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图 2 是容器中水高度随滴水时间变化的图像.
给出下列对应：（1）：（a）——（e）
（2）：（b）——（f）
（3）：（c）——h
（4）：（d）——（g）其中正确的是(
) A．（1）和（2）
B.（2）和（3）
C. （1）和（3）
D.（3）和（4）
9.5 考点五：一次函数性质 例 6、直线 ) 0 ( k b kx y 不经过第三象限，点 p ) , (1 1y x 、点 ) , (2 2y x q 是函数图像上的点，且2 1x x＜ ， 那么2 1 , yy 的大小关系是1y __________2y 。
例 7、已知函数 2 ) 1 2 ( m x m y 的图象上两点 A（ ) ,1 1y x ，B（ ) ,2 2y x ，若2 1x x 时，2 1y y ，则 m 的取值范围是（
）
y
x
1
2
1y k x b
2y k x
0
A、21 m
B、21 m
C、 2 m
D、 0 m
变式训练：
1、直线 x y 3 2 不经过第______________象限，y 随 x 的增大而___________. 2 、点 A（3，1y ）和点 B（-2，2y ）都在直线 3 4 x y 上，则1y ，2y 的大小关系是（
）
A、 2 1y y
B、2 1y y
C、2 1y y
D、不能确定 9.6 考点 六：一次函数的上下平移 例 8、直线 2 3 x y 可以有直线 x y 3 向
平移
个单位得到 变式训练：将 321 x y 向上平移 5 个单位得到的函数解析式是___________.
9.7 考点七：两直线位置关系 例 9、直线 b kx y 和直线 8 3 x y 平行，且与 y 轴的交点到原点的距离为 2，则此直线的解析式为________. 变式训练：若直线 b kx y 平行直线 4 3 x y ，且过点 ) 2 , 1 ( ，则 k ________。
9.8 考点八：一次函数解析式 例 10、已知一次函数 ) 0 ( k b kx y 的图象经过点 ) 5 , 1 ( 且与正比例函数 x y21 的图象相交于点(2， a ). ①求 a 的值；
②求一次函数的解析式。
例 13、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. ①农民自带的零钱是多少? ②降价前每千克的土豆价格是多少? ③降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是 26 元,试问他一共带了多少千克土豆? ④试求降价前 y 与 x 之间的关系式。