概率、统计解答题专练
概率、统计 解答题 专练
1．已知向量 a＝( x ， y )，b＝(1，－2)，从 6 张大小相同分别标有号码 1，2，3，4，5，6 的卡片中，有放回地抽取两张， x ， y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码． (1)求满足 a·b＝－1 的概率； (2)求满足 a·b>0 的概率． 2．某运动员进行 20 次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：
环数
7
8
9
10 命中次数
2
7
8
3 (1)求此运动员射击的环数的平均数； (2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果(2 次，7 次，8 次，3 次)中，随机取 2 个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为 m 次， n 次，每个基本事件为( m ，n )．求“ m ＋ n ≥10”的概率． 3．某制造商 3 月生产了一批乒乓球，随机抽样 100 个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
频率/组距 [39.95，39.97)
10
[39.97，39.99)
20
[39.99，40.01)
50
[40.01，40.03]
20
合计
100
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图； (2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为 40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过 0.03 mm 的概率； (3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99，40.01)的中点值是 40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
4.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，
在图中以 X 表示． 甲组
乙组 错误! ! 错误! ! 错误! !
(1)如果 X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果 X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率．(注：方差 s2 ＝ 1n [( x1 － x－ ) 2 ＋( x2 － x－ ) 2 ＋…＋( xn － x－ ) 2 ]，其中x－ 为x 1 ， x 2 ，…， x n 的平均数) .5．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 2013 年 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下表：
日期
12 月 1 日
12 月 2 日
12 月 3 日
12 月 4 日
12 月 5 日 温差 x (℃)
10
11
13
12
8 发芽数 y (颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验． (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程 y ∧＝ b ∧x ＋ a ∧； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠？ 6．为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：
表 1：男生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80) 人数
5
25
30
25
15 表 2：女生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80) 人数
10
20
40
20
10 完成下面的 2×2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？
上网时间少 上网时间不 合计
于 60 分钟
少于 60 分钟
男生
女生
合计
附：
K2 ＝n ad － bc2a ＋ b c ＋ d a ＋ c b ＋ d P ( K2 ≥ k0 )
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005 k 0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879 （巩固练习）1．(2014·长春第三次调研)(本小题满分 12 分) 某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高； (2)若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率； (3)根据频率分布直方图估计这次测试的平均分． 2.某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对 100 名出租车司机进行调查．调查问卷共 10 道题，答题情况如下表：
答对题目数
[0，8)
8
9
10 女
2
13
12
8 男
3
37
16
9 (1)如果出租车司机答对题目数大于或等于 9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率； (2)从答对题目数少于 8 的出租车司机中任选出两人作进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率． 3.国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
空气质 量指数
0－50
51－100
101－150
151－200
201－300
300 以上
空气质 量等级
1 级优
2 级良
3 级轻 度污染
4 级中 度污染
5 级重 度污染
6 级严 重污染
由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如图所示． (1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)； (2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率； (3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． 4.通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：
性别与看营养说明列联表 单位：名
男
女
总计 看营养说明
50
30
80 不看营养说明
10
20
30 总计
60
50
110 (1)从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？ (2)从(1)中的 5 名女生中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率． (3)根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ P ( K2 ≥ k0 )
0.100
0.050
0.025
0.010 k 0
2.706
3.841
5.024
6.635 K2 ＝n ad － bc2a ＋ b c ＋ d a ＋ c b ＋ d 5.某高校共有学生 15 000 人，其中男生 10 500 人，女生 4 500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：
小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率； (3)在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. P ( K2 ≥ k0 )
0.10
0.05
0.010
0.005 k 0
2.706
3.841
6.635
7.879 附：
K2 ＝n ad － bc2a ＋ b c ＋ d a ＋ c b ＋ d.