只能“平行于x轴”吗？——一道高考解析几何试题的拓展探究
张培强
江苏省徐州市第一中学 (221004)江苏省高中数学名师工作室 (213001)
(1)求E的方程；
图1
直线HN的截距的化简是圆锥曲线中的非对称问题，基本处理策略是配凑出y1，y2的和与积，分子、分母都只留下y1，也可以利用韦达定理直接消去y2．
先猜后证是处理动态问题的常用策略．先考虑极端情况，当直线MN越来越靠近点A时，点M，N，T，H都越来越靠近点A，因此猜想动直线HN过定点A，再通过斜率不存在的特殊情况确认，继而证明一般性即可．
解法2：当直线MN的斜率不存在时，M(1,
证明三点共线比探求动直线过未知的定点要简单．此解法也有效地避开了非对称的麻烦．还有别的方式避开非对称吗？事实上，我们可以将(y+2)看作一个整体，往(y1+2)与(y2+2)的和、积转化．
考题中，直线PA是椭圆的切线，也平行于x轴，因此“平行于x轴”与“平行于PA”是一样的．在一般性地推广中，两种说法是否还一样呢？
由此可知，点A与点P相互制约，随着t的变化而在相对位置上发生改变．那么，改变MN所过的定点P，是否还会有类似的结论？
图2
一般地，我们可以得到如下结论：
由命题0可知，当A为下顶点时，改变t的值，点P只能落在直线y=-b上．那么当点P落在直线外，点A就不再是下顶点了，类似构图，是否还会有相关结论呢？
先用“GeoGebra”动态观察．如图3，一般情况下，当点A在某象限内，直线PA与椭圆C是相交的状态．过M作平行于x轴的直线，与直线AN交于点H，作出MH的中点T，转动直线MN，可见当MN转向切线PQ时，点T逐渐靠近切点Q，当MN转向切线PR时，点T逐渐靠近点A，过程中，点T落在直线AQ上．下面尝试求证.
图3
设A(x0，y0)，
于是，我们得到如下结论：
图4
图5
于是，我们得到如下结论：
这里的点P和直线y=y0恰是椭圆C的一对极点和极线(考题中的点P和直线AB也是椭圆C的一对极点和极线)．
图6
再回到一般，如图6，当点A不是切点时，仍然过M作切线PR的平行线，考虑点H在AN上和在RN上两种情况．若MH与AN交于点H，可见MH的中点T的轨迹是一条经过A，R，Q三点的曲线．这就说明，如果考题中的A不是下顶点，那么“AB”就不是直线段了，因此MH就只能“平行于x轴”而作了．
若MH与NR交于点H，可见MH的中点T在极线RQ上(过M作切线PQ的平行线，也有类似的结果)．
于是，我们得到了椭圆极点和极线的一个性质：
图7
(证明留给读者自行完成)
通过以上的探究，可见考题是“命题2+命题4”下的特殊状态：点A与切点R重合于椭圆的下顶点，切线PA与x轴平行．而在一般的状态下，切线PR与x轴不平行，平行线的不同作法，会造就不一样的动点T在定直线上和动直线NH过定点，更显解析几何“动中取静”的精彩．
圆锥曲线的魅力就在于一个结论的精彩往往不只在一条曲线中绽放．在双曲线、抛物线中同样可探得如下的结论：
命题8 已知P为抛物线C：y2=2px(p>0)外一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为Q，R，过点P的直线交抛物线C于M，N两点，过M且平行于PR(PQ)的直线与直线RN(QN)交于点H，则线段MH的中点T在直线RQ上．
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