无穷小（大）量分析与正项级数敛散性

【摘 要】本文主要介绍利用无穷小（大）量阶数的估计来判定正项级数的敛散性，为学生掌握级数敛散性的比较判别法提供一种有效指导。

【关键词】极限；无穷小；无穷小（大）的阶数；敛散性

0 引言

从有限到无穷是初等数学进入高等数学的一个重要标志，而要处理关于与无穷相关的问题必然离不开极限这个重要工具。极限是高等数学特别是微积分中最基本、最重要的概念之一。

在《高等数学》级数这一部分内容的学习中，极限也同样是一个非常重要的工具。首先，级数■un的敛散性是通过其前n项和的极限■Sn是否存在来定义的；其次，级数收敛的必要条件是通项的极限■un=0，即un是一个无穷小量；还有后面正项级数敛散性的各种判定方法也与极限有关。

这里，我们重点讨论一下正项级数的比较判别法。在教学中发现，这种方法学生掌握起来比较困难，不知如何下手去找作为参考的级数。在此，我们介绍通过无穷小（大）量分析的方法，利用阶的估计来寻找参考级数，从而判断级数的敛散性，方法简单实用。

1 一般教材中介绍的比较判别法的两种形式

一般形式：设■un与■vn都是正项级数且un≤vn，则

（1）若级数■vn收敛，则■un一定收敛；

（2）若级数■un发散，则■vn一定发散。

简单来说就是“大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散”。这样，我们在说明一个级数■un收敛时，就需要把其通项un适当放大到vn，使得级数■vn是一个收敛级数；而要说明级数■un发散时，就需要把其通项un适当缩小到vn，使得级数■vn是一个发散级数。这时要求我们必须把握好放大或缩小的“度”，这一般来说并不容易。于是，又有了比较判别法的另一种形式：

极限形式：设■un与■vn都是正项级数

（1）若■■=k≠0，则级数■un与■vn具有相同的敛散性；

（2）若■■=0，则级数■vn收敛时，■un也收敛；

（3）若■■=∞，则级数■vn发散时，■un也发散。

这样，我们在找作为参考的级数■vn时，就有了两个依据：

（1）■vn的敛散性已知；（2）■■的值要能确定。

针对这两个依据，我们可通过对通项un的无穷小量的阶数来分析，求取一个适当的参考级数■vn。

2 无穷小量（或无穷大量）分析方法

由无穷级数收敛的必要条件知，要■un收敛，un必须是n→∞时的无穷小量。但un是n→∞时的无穷小量并不能得出收敛的结论。例如，un=■是一阶无穷小量，调和级数■■发散；un=■是二阶无穷小量，然P—级数■■收敛。由此看来满足收敛必要条件的无穷级数是否收敛，取决于un这个无穷小量趋近于零的速度也就是的无穷小阶数的大小。由此，我们可以通过对un无穷小量阶的分析，求取一个适当的vn，使得un与vn是同阶（或等价）无穷小，且一般地■vn是一个已知敛散性的P_级数或等比级数。从而■un的敛散性得以判别。这就是我所说的无穷小量（或无穷大量）分析方法。

2.1 分析un的分母的无穷大的阶来求取vn

若■un收敛，un必是无穷小量，则dn=■必是无穷大。

定义：若■■=c（a>0，c≠0），则称dn是一个k_阶无穷大，un=■就是一个k_阶无穷小。

由此，■■中，un=■，其分母n是1阶无穷大，■是1阶无穷小；

■■中，un=■，其分母n2是2无穷大，■是2阶无穷小；

当un的分子分母都为无穷大量时，通过综合分析确定un的无穷小量的阶，从而求取vn

例如，■■中，分子是1阶无穷大，分母是2阶无穷大，故un是1阶无穷小量。

若要判断的级数■un的通项un的分子分母是关于n的多项式，我们可以按照下面的方法来找参考级数

定理：正项级数■un与■■有相同的敛散性，其中p为un的无穷小的阶数。

下面举例来说明：

例1 判定下列级数的敛散性

（1）■■ （2）■■ （3）■（■）2

上述级数通项un的分母的无穷大的阶数分别为（1）是3阶，（2）是1阶，（3）是2阶，所求取的参考级数的通项vn分别可取■，■，■，从而（1）（3）收敛，（2）发散。

命题1 指数函数ax（a>1）是x→+∞时的无穷阶无穷大量。

证明 取n阶无穷大量xn（x→+∞），这时有

■■=■■=……=■■=0

无论n为多么大的一个正数，都有上述极限成立。因此指数函数ax（a>1）的阶比无论多么高阶的无穷大量xn的阶都还要高，是无穷阶无穷大量。

[注记] 指数函数a-x（a>1）是x→+∞时的无穷阶无穷小量。

命题2 对数函数lnx是x→+∞时的零阶无穷大量。

证明 取■阶无穷大量x■（x→+∞），这时有

■■=■■==■■=0

无论n为多么大的一个正数，即无论x■的无穷大阶多么的低，都有上述极限成立。因此对数函数lnx的阶比无论多么低阶的无穷大量x■的阶都还要低，是零阶无穷大量。

更进一步，有

（lnn）k？垲nα？垲an？垲n！？垲nn （k，α>0，a>1，？垲表示远远小于）

例2 判定下列级数的敛散性

（1）■■ （2）■■ （3）■■

（1）中由于3n是无穷阶无穷大量，无穷大阶远高于n的1阶，较3n之趋于无穷大，n可忽略不计，因此只取vn=■；级数收敛。（2）中由于lnn是零阶无穷大量（虽是零阶，但毕竟是无穷大量！），任何α阶无穷大量nα（α>0）的阶都比它的阶高，在此不妨考虑为n■，因此取vn=■即可；从而此级数收敛。（3）中考虑lnn与n■同阶不能判别其敛散性，α必须小于■，不妨考虑为■，因此取vn=■，此级数收敛。

例3 （第五届全国大学生数学竞赛预赛题） 判定级数■■的敛散性。

记an=1+■+…+■，un=■，n=1，2，3…

因为■■=0（（lnn）k？垲nα）当n充分大时0

2.2 利用等价无穷小代换求取vn

利用un的等价无穷小作为vn，此时■■=1，■un敛散性与■vn对应一致。

常见的等价无穷小有

n→+∞时，sin■～arcsin■～tan■～arctan■～ln（1+■）～e■-1～■，1-cos■～■

例如，级数（1）■（sin■）3 （2）■■tan■ （3）■ln（1+（■）n） （4）■■ln■

参考级数的通项vn分别可取成un的等价无穷小为（1）■（2）■（3）（■）n（4）■

3 结束语

借助于极限，掌握了无穷小量阶数的分析，在利用比较判别法判定级数的敛散性时就可以很快的找到作比较的级数从而做出判断，此方法简单有效。

【参考文献】

[1]龚德恩.经济数学基础（第一分册 微积分）[M].成都：四川人民出版社，2005.

[2]王国政，王婷.微积分（下）[M].成都：西南财经大学出版社，2009：65-69.

[3]尹逊波，杨果俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].2版.哈尔滨工业大学出版社，2013：35-36.

[责任编辑：汤静]

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