分块矩阵的若干初等运算及应用

摘要：本文详细且全面综述了分块矩阵的概念，主要内容包括用分块矩阵来算矩阵的乘积、利用分块矩阵求逆矩阵、证明矩阵的秩、求矩阵的特征根等方面的问题，使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化。

关键词：矩阵；分块矩阵；行列式；矩阵的秩

中图分类号：O151.2文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2013) 05-0000-03

矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值，也常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述和运算，矩阵的概念和性质相对矩阵的预算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生。

矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。就如矩阵的元素(数)一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理。把矩阵分块进行运算有许多方便之处。因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是处理级数较高的矩阵时常用的方法。分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。

1分块矩阵的定义及相关运算性质

1.1分块矩阵的定义

定义1设 是一个 矩阵，若用若干横线条将它分成 块，再用若干纵线条将他分成 块，于是有 块的分块矩阵， ，其中 表示的是一个矩阵。

1.2分块矩阵的相关运算性质

加法

设 ， ，用同样的方法对 进行分块

， ，

其中 ， 的级数相同，则 。

数乘

设 是任意数，定义分块矩阵 与 的数乘为

乘法

设 分块为 ，其中 是 矩阵， 是 矩阵，定义分块矩阵 和 的乘积为

。

转置

设 分块为 ，定义分块矩阵 的转置为

分块矩阵的初等变换

分块矩阵 的三种初等行变换：

（1）对调 的两行(用 表示对调 、 两行)；

（2）用一个可逆阵 左乘 的某一行的所有子矩阵(用 表示用 左乘第 行)；

（3）将 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵 再加到另一行的对应子矩阵上去( 表示将第 行左乘 再加到第 行)。

将上述定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等列变换的定义，分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

2分块矩阵的应用

2.1用分块矩阵解决行列式的问题

利用矩阵分块求行列式的值是行列式求值的常用方法之一，但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格，多数为形式比较特殊的行列式。下面是一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法。

定理1若 阶方阵 可分为 其中 为 阶方阵， 为 矩阵， 为 矩阵， 为 阶方阵，则有

（1）当 为可逆矩时 ；

（2）当 为可逆矩阵时 。

在进行行列式的求值运算时，若该行列式符合此定理条件要求的矩阵分块方法，就可应用定理的结论进行行列式的计算，运算会相对简单许多。

2.2用分块矩阵求逆矩阵的问题

分块矩阵是高等代数运算中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中应用尤为广泛。求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，此类方法对于级数较高运算量较大的矩阵，适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用。

定义2对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得

那么矩阵 称为可逆矩阵，而 称为 的逆矩阵。

若 都可逆，则

，，

其中 。

2.3分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用

在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有一定程度的重要性．所以我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会利用矩阵的分块去解决，这样可以使问题解决得更简明。

定义3设 为 阶矩阵， 是一个数，如方程 ，存在非零解向量，则称 为 的一个特征值，相应的非零解向量 称为与特征值 对应的特征向量。

定义4设 为 阶矩阵，含有未知量 的矩阵 称为 的特征矩阵，其行列式 为 的 次多项式，称为 的特征多项式 称为 的特征方程， 是矩阵 的一个特征值，则一定是 的根，因此又称为特征根。若 是 的 重根，则 称为 的 重特征根（值）。

定理6幂等矩阵 与 或 相似，其中 。

（1）当 时，即 ，结论显然成立。

（2）设 ，即 为非零由布可逆矩阵，又因为 ，故存在可逆矩阵 使

， ，

令

这里 ，

所以

，从而

，又因为

，

从而

， ，

这样 ，且 ，由定理1的证明可知，存在可逆矩阵 ，使

， ，

，

设，

又因为 ，所以 ，设

，

同上可得 ， ，故 ，又

，

从而 ，同理

， ，

故有

，

综上所述，结论成立。

3结束语

本文通过对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵相似等问题；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨。

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[作者简介]王超亚（1992-），女，本科在读，杭州师范大学钱江学院理学分院学生，专业为信息与计算科学。

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