高中数学分析和解决问题能力的培养策略

摘要：高中数学对于提高分析和解决问题的能力有着更深层次的要求，本文就教师在平时教学中应注重分析和解决问题能力的培养的方法和策略上进行研讨，得出了一般性的结论。

关键词：高中数学；数学建模

学习数学的过程，本质上是解决认识主体与认识客体之间矛盾的过程。学生的学习，其特点是在教师的指导下，在学习知识的基础上发展自己的认识知识、创新知识的能力。

一、分析和解决问题能力的组成

1.审题能力。审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。

例：已知sinα+sinβ=■，cosα+cosβ=■求tgαtgβ的值。

分析：考虑将tgαtgβ写成■，转向求sinαsinβ、cosαcosβ。令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=■。

从方程的观点看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是转向求x+y=cos（α-β），x-y=cos（α+β）。这样把问题转化为下列问题：

已知：sinα+sinβ=■ ①

cosα+cosβ=■②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①2+②2得2+2cos（α-β）=■，cos（α-β）=■。

②2-①2得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=■，cos（α+β）=-■。这样问题就可以解决。

从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力。由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。

2.数学建模能力。近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战，而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。

例：某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交α元（3≤α≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件。

（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。

解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈［9，11］。

（Ⅱ）L"（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）

令L"=0得x=6+■a或x=12（不合题意，舍去）。

∵3≤a≤5，∴8≤6+■a≤■

在x=6+■a两侧L"的值由正变负。

所以（1）当8≤6+■a＜9即3≤a＜■时，LMAX=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）

（2）当9≤6+■a≤■即■≤a＜5时，LMAX=L（6+■a）=6+■a-3-a12-6+■2=43-■a3

所以Q（a）=9-（6-a）3≤a＜■，43-■a3■≤a＜5

答：若3≤a＜■，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若■≤a＜5，则当每件售价为6+■a元时，分公司一年的利润最大，最大值Q（a）=43-■a3（万元）。评述：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。在该题的解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解决此题实属不易。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。

二、培养和提高分析和解决问题能力的策略

1.立足教材，注意挖掘教材的内涵。我们认为，教材更加注重学生的认识规律，及学生的学习兴趣。新知识的引入借助实例，不仅有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，更能激发学生的求知欲望，集中学生的注意力，提高课堂效率。通过对教材的研究，来改变教师脑海中原有模式，发现新问题，采取新方法、新策略，打破旧框框，找到更加合理的授课方法。

2.重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法。数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。

3.加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力。高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力。

4.适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面。要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查。

5.重视解题的回顾。在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段.

6.加强学生学习方法的指导。新课改下教学内容多，抽象性、理论性强，学生从初中升入高中后，首先遇到的又是理论性很强的函数。其中又有很多对实际情境不熟悉的实际问题，使一些学生感到不适应而造成学习上的困难。如何让学生尽快适应高中数学的学习，学习方法的指导就显然尤其重要。

总之，为了更好地进行教与学，就必须与时俱进，改进教学方法，更要改进学生的学习方式，倡导自主、合作、探究的学习方式，鼓励学生大胆创新与实践，营造开放、自主的学习环境，以学生为主体，发展创新思维，让学生大胆地把个性展现出来，使学生得到和谐、全面的发展。

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