一道数列极限考研试题的多种解法

摘 要： 极限是研究数学分析的主要工具，数列极限则是其最基本的内容之一.本文对一道经典考研数列极限试题进行剖析，并给出该题的多种解法.

关键词： 数列极限 定积分 Stloz公式 微分中值定理 放缩法

数学分析主要的研究对象是函数，而极限是研究数学分析的主要工具，并贯穿于整个数学分析内容始终，所以正确理解极限思想是学好数学分析的关键所在.数列极限是最基本的极限知识，熟练掌握数列极限的解题方法是基础.下面对一道经典数列极限考研试题进行剖析，并给出该题的多种不同解法.

这道极限题是全国许多高校的硕士研究生入学考试数学分析试题，有试卷根据考试的年份取一个特定的自然数，事实上，这里P可以是大于零的任意实数.下面给出具体解法.

1.利用定积分的定义

定积分的定义法主要是在求数列极限中有着重要的应用，是利用极限定义一种特殊的极限——和式极限，这种极限比一般的极限的条件要高得多.其适用范围是：首先，一般要求被求极限的数列是一个和式极限或者可以化为和式极限的形式；其次，这个和式极限能化成黎曼和式极限.

2.利用Stloz定理

2.1利用微分中值定理

微分中值定理的结论只是一个存在性结果，不具有普遍性，而极限要求得出的是一个“大势所趋”普遍性的结论，因此利用微分中值定理求极限要求导函数的极限必须存在，如文献[3].相应的还有用导数定义求极限，与前面利用定积分定义求极限一样，一般只能用于求极限值，而不能用于证明极限存在.这些都需要学习者充分理解极限的概念，才能辨别求极限值和证明极限存在二者之间的差别和联系.此时（*）有，

2.2利用放缩法

放缩法是求极限的一个最基本的方法，先通过放缩被求极限，将其转化为比较简洁或者已知的极限，再求原式的极限，如迫敛性定理.这种方法看似简单，但在实际操作中一定要把握好放缩的“度”.

一般来说，利用放缩法证明极限是比较常用的方法，目标明确，便于控制放缩的“度”.而在用其求极限时，一定要小心谨慎，最好是能先猜出问题的答案，这样就转化为用放缩法求或证明极限.将数列极限转化看成更一般的函数，利用海涅定理得出该问题对应一般函数的极限.针对填空和选择题，海涅定理不失为求数列极限的一个良策.对于（*）式，我们可以先转化为一般函数极限，多次用洛必达法即可得出正确答案.

3.积分判别法

参考文献：

[1]淮乃存.利用定积分定义求数列极限[J].陕西师范大学学报，2003，4（31）：30-33.

[2]欧阳光中，姚允龙.数学分析（上册）[M].上海：复旦大学出版社，1991，（10）：32-35.

[3]华中师范大学数学系.数学分析上册（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1993，（3）：162-163.

[4]裴礼文.数学z分析中的典型问题和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006，（4）：32-60.

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