复合函数的导数在教学中的思考

【摘要】导数是微分学中的重要概念，不但导数的应用非常广泛，而且导数定义在极限计算、导数计算、证明题等很多方面也占有非常重要的地位。本文从复合函数的求导法则出发，讨论了外函数y＝f（u）、内函数u＝g（x）以及复合函数F（x）＝f［g（x）］三者导数的存在性问题。

【关键词】复合函数求导法则导数连续

【中图分类号】O221.1 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2014）08－0088－02

导数是微积分中的重要基础概念，导数的计算、导数的应用都是微分学研究的主要问题之一。利用导数我们可以讨论函数的单调性、连续性、极值问题等。导数实质上就是一个求极限的过程，导数定义本身的应用也是一个比较重要的问题。十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动与各种不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数概念产生于以下两个实际问题的研究：（1）曲线的切线问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科学家阿基米德；（2）求非匀速运动的速度，它最早是由开普勒、伽利略、牛顿等提出来的。具体应用背景应掌握几种常见的物理量的描述，即速度，速率包括药物的反应速率、水库泄水速率、液体挥发速率、冰雪融化速率等，所以这些现象均可借助导数来刻画。

引理1如果u＝g（x）在点x0处可导，而y＝f（u）在点u0＝g（x0）处可导，则复合函数y＝f［g（x）］在点x0处

也可导，且其导数为 。

引理1不仅告诉我们如果外函数和内函数都可导，则它们的复合函数也可导，而且还给出了复合函数的求导公式，从而使可以求得导数的函数范围得到很大的扩充。

本文将从引理1出发，进一步讨论外函数y＝f（u）、内函数u＝g（x）以及复合函数F（x）＝f［g（x）］三者的导数存在性问题。

问题1：若y＝f（u）在u0＝g（x0）处可导，u＝g（x）在x0处不可导，则F（x）＝f［g（x）］在x0处是否可导？

解答：有可能可导，也有可能不可导。一方面，我们可以令f（u）＝u2，u＝g（x）＝| x |，但是F（x）＝f［g（x）］＝x2在x＝0处导数存在。即y＝f（u）在u0＝g（x0）处可导，u＝g（x）在x0处不可导，则F（x）＝f［g（x）］在x0处可导。另一方面，令f（u）＝u，u＝g（x）＝| x |，则f（u）＝u在u0＝g（0）＝0处可导，u＝g（x）在x0＝0处不可导，且F（x）＝f［g（x）］＝| x |在x0＝0处不可导。

在问题1的基础上我们继续考虑以下问题：

问题2：若F（x）＝f［g（x）］在x0处可导，外函数y＝f（u）在u0＝g（x0）处可导，则内函数u＝g（x）在x0处是否一定可导？

解答：不一定。我们同样通过构造两个例子来说明。（1）令f（u）＝u2，u＝g（x）＝| x |，F（x）＝f［g（x）］＝x2，显然，F（x）在x0＝0处可导，y＝f（u）在u0＝g（x0）＝0处可导，但是u＝g（x）在x0＝0处不可导。（2）令f（u）＝u2，u＝g（x）＝x，F（x）＝f［g（x）］＝x2，则F（x）在x0＝0处可导，y＝f（u）在u0＝g（x0）＝0处可导，且u＝g（x）在x0＝0处也可导。

下面的定理将进一步回答问题2中的问题。

定理1，若F（x）＝f［g（x）］在x0处可导，外函数y＝f（u）在u0＝g（x0）处可导且f"（u0）≠0，g（x）在点x0

处连续，则g（x）在点x0处一定可导且 。

证明：因为g（x）在点x0处连续，所以 ，

即 ，于是：

证毕。

注：如果没有g（x）在点x0处连续这个条件，定理1中的结论是不一定成立的，这在问题的回答中已经说明了这一点。

与定理1类似地，我们可以得到以下结论。

定理2，若F（x）＝f［g（x）］在x0处可导，内函数g（x）在点x0处可导且g"（x0）≠0则外函数y＝f（u）在u0

＝g（x0）处可导且 。

证明：由g"（x0）存在，有 。

再由F（x）＝f［g（x）］在x0处可导知，

＝F"（x0）。

则：证毕。

参考文献

［1］陈传璋、金福临、朱学炎等.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2002

［2］欧阳光中、姚允龙、周渊.数学分析［M］.上海：复旦大学出版社，2003

［3］贺自树、刘学文、杜昌友等.数学分析习题课选讲［M］.重庆：重庆大学出版社，2007

〔责任编辑：李锦雯〕

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