透析与0有关的两个争议问题

教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页是这样叙述的：通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

数位的定义。很明显，在“位数”的定义中都涉及到“数位”，“数位”的定义是比较清楚的。《小学教师之友（数学卷）》认为：应用位值原则记数，各个不同的计数单位所占的位置叫做数位；一个数中每个数字所占的位置叫做数位。

1.最小一位数是不是0？要弄清楚这个问题，首先要弄明白“0是不是一位数”。

（1）“一位数”的定义排除了“0是一位数”。郭乃光在《最小的一位数是“0”还是“1”》一文中说到，在自然数理论中对“n位数”的定义：“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数，叫做两位数……，所以在一个数中数字的个数是n（其中最左端的一个数字是有效数字），这个数就叫n位数。”百度百科：“含有一个数位的数是一位数，含有两个数位的数是两位数……”这种定义是过去老教材普遍采用的，《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页上说，例如：2含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。

可见，从“一位数”的定义中就排除了“0是一位数”。因为在前面“位数”和“一位数”的定义中都加上“不是0”予以限制，在“几位数”的定义中都要加上“最左端的数字不是0”这个限制条件。如果没有这些限制条件，0是一位数，由此可推出00是两位数，000是三位数。而它们的结果都等于同一个值“0”，这样就会出现同一个数“0”可以用任意几位数表示的结论。同样5是一位数，05是两位数，005是三位数，同一个数“5”可以用任意几位数表示的结论。如果这样“位数”这个定义显然就失去了存在的必要性。因此，在十进制计数法里有这样一个重要的规定：“一个整数的最高位不能是0”。按照这个规定，0是一个没有位数的数，即0无位数，当然也不能说0是0位数。

（2）“0是一位数”不符合十进制计数法的位值原则。位值原则是十进制计数法的最重要的一条原则，因为同一数字在不同的数位上表示不同的数值。这就是说，记数时，每个数字除了它本身所表示的数值以外，还带上一个“位置值”，这就是记数的位值原则。

从位值原则可以看出，0不是一位数。因为0表示一个物体也没有，在十进制计数法中仅仅是“空位”的一个表示符号，起到占有数位的作用。如3005就表示里面有3个千，5个一。“00”分别表示这个数的十位、百位都是空位，通常不说成0个百、0个十。事实上，我国古代筹算数码中一开始并没有“0”，“遇零则置空”。比如“┴ ╥”就表示“6007”。这样由于数字中没有“0”，很容易发生错误，所以后人把铜钱摆在空位上，以免弄错。可见，在多位数中“0”只是占位，不会带上“0”所在的数位的“位置值”。但当0单独存在时，既不能显示出某个数位，也不表示某个计数单位。

（3）位数公式也无法算出“0是一位数”。我们知道，对于任意一个十进制的正整数n，它的位数都可表示为：[log10n+1]，其中[x]是高斯函数，代表不大于x的最大正整数。比如：8是一位数，425是三位数。显然人们无法用位数公式来计算0的“位数”，因为位数公式[log10n+1]对于“0”无法适用。换句话，用位数公式也算不出0的“位数”。

通过以上讨论，很明显人们研究“几位数”一般都是在正整数范围内讨论的，0的位数不在研究范围之内。因此，0不是一位数，也不能说“0是0位数”。

2.最小的一位数是几？通过上面的讨论，明确了“0不是一位数”。0既然不是一位数，所以更谈不上“0是最小的一位数”了。那么“最小的一位数是几？”

先可以通过分析，很容易得到下面两条规律：

（1）最小的n位数是10n-1，与这个数之最高位的计数单位相同。

这可以根据十进制计数法的计数单位来分析，得到：

如果数a是一个n位数，那么，10n-1≤a＜10n。

可知，在整数中最大的n位数是10n-1；最小的n位数是10n-1，与这个数之最高位的计数单位相同。比如：最大的两位数是99，最小的两位数是10，也就是两位数的最高位（即十位）的计数单位。所以说，最小的一位数是10n-1=1，与最小一位数的最高位的计数单位1相同。

（2）从最大的n位数和最小的n位数与n位数的总个数的关系上分析，一是最大的n位数被最小的n位数整除的商始终是以9.9999……的形式表示。比如：最大两位数是99，最小的两位数是10，它们的商是9.9；最大三位数是999，最小三位数是100，它们的商是9.99；最大五位数是99999，最小五位数是10000，它们的商是9.9999；由于最大一位数是9，以此可以推出最小的一位数是1。二是还可以知道最大的n位数与最小的n位数之差再加上1就等于最小的n位数的9倍，结果恰恰等于n位数的总个数。比如：两位数有90（99-10+1）个，三位数有900（999-100+1）个，五位数有90000（99999-10000+1）个；一位数有9个且仅有9个，由于最大一位数是9，以此可以推出最小一位数也是1。

假设“最小的一位数是0”，显然与上面的两条规律相违背。

在十进制的计数单位中，1 是基本单位。所以，负整数的计数单位也是1。如果在负整数中计数单位是-1，那么最小的一位数是-1，最大的一位数是-9，显然与“-9＜-1”相矛盾。如果在负整数中计数单位是-9，那么，最小的一位数是-9，这不符合前面①得到的规律：最小的n位数就是这个数之最高位的计数单位，即10n-1。无论是最小的一位数是-1还是最小的一位数是-9，显然都与上面的两条规律相违背。

综上所述，判断最小的一位数是几，与0是否划归为自然数无关。无论在正整数范围内，在自然数范围内，还是在整数范围内，最小的一位数是1，而不是0，更不是-9。

二、0是最小的偶数吗？

这个问题可分为三个层次论述：

1.整除、因数和倍数的定义。笔者查阅了华罗庚著《数论导引》，在第一章“整数之分解”的第1节整除性（书第1-2页）里是这样写的：

定理1.任与二整数a及b（b＞0），必有二整数q及r使a=qb+r，0≤r＜b，r名为以b除a所得之最小正剩余。

定义：若最小剩余为0，则a名为b之倍数。换言之，若有一整数c，使得a=bc，则谓b可整除a；a称为b之倍数，b称为a之因数，以b│a表之。故显然有1│a，b│0。对任一a≠0有a│a。又以b+a表示b不能整除a。

若a=bc，而b既非a又非1，则b称为a之真因数。

在浙教版《义务教育六年制小学课本（试用）数学》第十册中，第31页是这样描述“数的整除”及“约数和倍数”的定义：数a除以数b，除得的商是自然数，而且没有余数，我们就说，a能被b整除。如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

在北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）》中，不再出现“整除”一词，直接用根据乘法算式5×4=20引出因数和倍数：“20是4和5的倍数，4和5是20的因数。”显然，无论是老教材还是新教材，对因数和倍数的定义没有本质性区别，只是在表述方式上有所不同，新教材把“约数”回归了原来的“因数”。

2.0是偶数吗？

《数论导引》第3页明确指出：2所能整除之数谓之偶数；非偶数之整数名之奇数。显然大于2之偶数皆非素数。

老教材里有：“能被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数，叫做奇数。”

新教材认为：“是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。”

虽然在新教材中没有明确指出“0是偶数”。但根据整除、因数和倍数的定义，显然有“b│0（b＞0）”。因为b×0=0（b为任意正整数），所以b为0的因数，0为b的倍数。也就是说：任意一个正整数都是0的因数，0是任意一个正整数的倍数。再根据偶数的定义，显然可得“0是偶数”。

因此，无论根据老教材还是新教材的“偶数”的定义来判定，0一定是偶数。如果借助数轴，0是不是偶数就更清晰了。

在数轴上，可以看出表示奇数的点和表示偶数的点是交替出现的。由于1和-1都是奇数，表示0的点在点1和-1的中间，是处在偶数的位置，这正说明了0是偶数。

三、0是最小的偶数吗？

从上面的数轴上可以清楚看出，如果是在非零的自然数范围内，最小的偶数就是2；如果扩展到0，即自然数（非负数）范围内，那最小的偶数就是0；再扩展到整数范围内，0是最小的偶数显然是不正确的。这时在整数范围内，就“没有最小的偶数”了，与“没有最大的偶数”是一样的道理。因此0是偶数，但0是不是最小的偶数，主要看研究的范围，准确地说：“在自然数范围内，0是最小的偶数。”

虽然现在已经规定了“0是自然数”，但由于“0”的特殊性，许多题目的解决都涉及到“0”，如果题目的条件不够严谨时，往往会引起老师和学生的争议甚至成为困惑，尤其在一些课外资料上，这类问题就更多了。所以，我们看待“0”时，应结合课本和学生的知识范围，合理引导。如果一定要涉及到“0”，要保证题目条件的严密性，注意“0”的科学性，以免造成不必要的麻烦和无谓的争执。

参考文献:

[1]华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社出版,1957.

[2]李润泉,曹侠,陈国盛.小学教师之友（数学卷）[M].北京:人民教育出版社,1990.

[3]刘勇,张艳军,罗姗姗.小学生数学词典[M].南昌:江西教育出版社,2009.

[4]郭乃光.最小的一位数是“0”还是“1”[J].小学教学研究,1984,(1).

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